Beregne linjeintegralet

[ThomasSkas]

.

[Nebuchadnezzar]

Du er på rett vei her, selv om du ikke helt virker som du vet hva du gjør? Anbefaler deg å se noen videoer på khan om beregning av linjeintegraler + å tegne mer enn det du gjør. For eksempel kan Geogebra være et fantastisk verktøy for å visualisere slike problemer.

Du integrerer altså langs en ellipse som ligger litt på skrå i $z$-planet. Kan tenke deg en icecream-cone som blir snittet på skrå og du skal bevege deg langs skjæringskurven. Integralet kan du betrakte som friksjon mot bevegelsen din, eller arbeidet som kreves.

For å komme helt rundt må en komme tilbake til utgangspunktet, med andre ord når $\sin t$ og $\cos t$ begge har brukt en periode.

Kode: Velg alt

Curve[cos(t) / 6, sin(t) / 3, cos(t) / 12, t, 0, p]

Hvor du selv må forandre $p$ til ulike verdier for å se hvordan dette påvirker parametriseringen din. Ellers ser det ut som du gjør mye riktig.

Når jeg fortsetter får jeg

$\frac{2}{3} \int_C x \,\mathrm{d}s = \frac{1}{6} \int_0^{2\pi} \cos t \cdot \frac{1}{12} \sqrt{ 16 - 11 \sin(t)^2}\,\mathrm{d}t $

Herfra kan du for eksempel sette $u = \sqrt{ 16/11} \sin t$ og se hva som skjer.. Ellers burde svaret bli 0 i mitt hodet. Om en betrakter ellipsen ovenfra er den symmetrisk omkring x-aksen. Det positive bidraget er like stort som det negative bidraget og kanseleres.

[ThomasSkas]

.

[Nebuchadnezzar]

Trr du må friske opp integrasjonskunnskapene dine, og spesielt å huske på kjernen. Dersom du velger

$
u = \sqrt{16 - 11 \sin(t)^2} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{d}u = -\frac{11(\sin t) (\cos t) }{\sqrt{16 - 11\sin(t)^2 + 16 }}
$

Som ikke hjelper spesielt mye. Teknisk sett regnet jeg ikke feil, men oppgaven din ber ikke om å beregne linjeintegralet over hele ellipsen slik jeg først trodde, men hvor $x,y,z>0$.
Igjen prøv å tegn figur og overbevis deg selv om at dette inntreffer når $0 \leq t \leq \pi/2$. Da får en som du skriver

$
\hspace{1cm}
\begin{align*}
\frac{2}{3} \int_C x \,\mathrm{d}s
& =
\frac{2}{3} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{6} \cos t \cdot \sqrt{ \left( \frac{1}{6} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos t \right)^2 + \left( \frac{1}{3} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin t \right)^2 + \left( \frac{1}{12} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos t \right)^2\,} \,\mathrm{d}t \\
& = \frac{1}{9} \int_0^{\pi/2} \cos t \cdot \frac{1}{12} \sqrt{ 5 \cos^2(t) + 16 \sin^2(t)\,} \, \mathrm{d}t \\
& = \frac{1}{72} \int_0^{\pi/2} \cos t \cdot \sqrt{ 11 \sin^2(t) +5\,} \mathrm{d}t
\end{align*}
$

Herfra kan du igjen prøve å bruke substitusjonen $\sin t = \sqrt{ \frac{5}{11} } u$. Eventuelt om du vil gjøre det i to substitusjoner kan du først sette $u = \sin t$ og deretter $v = \sqrt{5/11} u$.

https://www.khanacademy.org/math/multiv ... e-integral

http://mathinsight.org/line_parametrization

[ThomasSkas]

.

[ThomasSkas]

.

[Nebuchadnezzar]

Hei, igjen! 8)

I linje 2 og 3, hvordan går du fra [tex]cos(t)\sqrt{5cos^2(t)+16sin^2(t)}[/tex] til [tex]cos(t)\sqrt{11sin^2(t)+5}[/tex], dvs hvordan omformes de rottutrykket i linje 2 til det i linje 3?

Tanken er at du bruker enhetsformelen $1 = \sin^2 t + \cos^2 t$ til å vekse mellom sinuser og cosinuser i uttrykket. Ved å snu på formelen har en $ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t$. Setter en inn får en

$ \hspace{1cm}
5\cos^2(t) + 16\sin^2(t) = 5\bigl(1 - \sin^2(t)\bigr)+16\sin^2(t) = 11 \sin^2(t) + 5
$

Videre, satte jeg [tex]sin(t)=\sqrt{\frac{5}{11}}u[/tex]

[tex]\frac{du}{dx}=\sqrt{\frac{11}{5}}cos(t)[/tex]

Dette satte jeg inn i integralet, og fikk:

[tex]\frac{1}{72}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos(t)\sqrt{\frac{5}{11}u^2+5}dt[/tex]

Ikke vondt ment men du trenger virkelig reppetere grunnleggende substitusjon før du fortsetter. Dette er dessverre en essensiell forkunnskap. https://www.khanacademy.org/math/integr ... titution-1. Du glemmer blant annet å skifte fra $\mathrm{d}t$ til $\mathrm{d}u$ og du glemmer også at $11$ forkortes i telleren og nevneren.

$
\begin{align*}
\int_{0}^{ \pi/2 } \cos(t) \sqrt{ 11\sin(t)^2+5\,}\,\mathrm{d}t
& = \int_{0}^{ \pi/2 } \sqrt{ 11 \left( \sqrt{ \frac{5}{11}} u \right)^2 +5\,} \cdot \sqrt{ \frac{5}{11}\,} \mathrm{d}u \\
& = \sqrt{ \frac{5}{11} } \int_{0}^{ \pi/2 } \sqrt{ 5 u^2 + 5\,} \, \mathrm{d}u
= \frac{5}{\sqrt{11}} \int_{0}^{ \pi/2 } \sqrt{ u^2 + 1\,} \, \mathrm{d}u
\end{align*}
$
Hvor en i siste overgang bare faktorisererte ut $5$ fra kvadratroten, og brukte at $\sqrt{5} \sqrt{5} = 5$.Siden $\sqrt{ \frac{5}{11} } u = \sin t $ Betyr dette at $\sqrt{ \frac{5}{11} } \mathrm{d}u = \cos t \, \mathrm{d}t$.

For å se litt smarte latex bruk anbefaler jeg deg å sitere innlegget mitt, en kan for eksempel bruke dollartegn for å skrive matematikk litt raskere.

Er det meningen å bruke variabelskifte her nå? Jeg ser ikke helt hvordan jeg skal klare få brukt den oppgitte formelen:

[tex]\int 2\sqrt{1+x^2}dx=x\sqrt{x^2+1}+ln(x+\sqrt{x^2+1})+C[/tex]

Unnskyld at jeg "plager" så m, men jeg ønsker virkelig å forstå denne oppgaven til det fulle.
Takk igjen!

Om du vil plotte funksjonen i maple, funker følgende kommando fint

Kode: Velg alt

with(plots); with(plottools)

spacecurve([(1/6)*cos(t), sin(t), (1/12)*cos(t)], t = 0 .. 2*Pi, linestyle = solid)

Objektivt sett er det litt hipps om happ om en lærer geogebra eller maple. Selv gadd jeg ikke å lære noen av delene mens jeg tok Matte 2. Men lærte det da jeg var studass for å vise de søte små hvordan ting så ut. For min del var det like greit å tegne ting for hånd, etter og ha sett lignende eksempler på internett.

http://mathinsight.org/parametrized_curve_introduction

[ThomasSkas]

Jeg skal prøve igjen, men før jeg gjør det, så skjønte jeg ikke helt denne her: https://gyazo.com/9afc5053a6cbbe06d88a94c103fa3e9b

Se helt til høyre under rottuttrykket. Etter det jeg kan se, så skrev du roten av de deriverte av de deriverte i andre?

Sagt på en annen måte: Har vi ikke allerede derivert, også skal vi sette det i andre? For meg ser uttrykket over ut som at vi har derivert, også skal vi finne lengden av hastighetsvektoren, men så finner vi lengden av den deriverte av hastighetsvektoren, dvs. akselerasjonen?

(Jeg prøver bare å forstå, ikke påpeke at noe er feil, da jeg ikke vet selv. )

[Nebuchadnezzar]

Er en liten skrivefeil der ja. Resultatet er riktig, men førte inn feil når jeg skrev det inn. Kan rette på det nå. Er som du skriver hastighetsvektoren en skal finne lengdne til, ikke akselerasjonsvektoren.

[ThomasSkas]

Hei!
Jeg prøvde igjen, og jeg gjorde slik: Forresten, hvor ble det 1/72 hos deg? Jeg så ikke helt hvordan den ble forkortet, så jeg regnet bare med den:

[tex]\frac{1}{72}\int_{0}^{\pi /2}cos(t)\sqrt{11sin^2(t)+5}[/tex]

Setter nå inn:

[tex]\frac{1}{72}\int_{0}^{\pi /2}\sqrt{5u^2+5}\cdot \sqrt{\frac{5}{11}}du[/tex]


[tex]\frac{\sqrt{25}}{72\sqrt{11}}\int_{0}^{\pi /2}\sqrt{u^2+1}du=\frac{5}{72\sqrt{11}}\int_{0}^{\pi /2}\sqrt{u^2+1}[/tex]


Nå setter jeg inn i den oppgitte integralformelen, og jeg bruker da at [tex]x=u=\sqrt{\frac{11}{5}}cos(t)[/tex]

Da ender jeg opp med:

[tex]\frac{5}{2\cdot 72\sqrt{11}}(u\sqrt{u^2+1}+ln(u+\sqrt{u^2+1}))[/tex]

[tex]\frac{5}{2\cdot 72\sqrt{11}}(\sqrt{\frac{11}{5}}cos(t)\sqrt{\frac{11}{5}cos^2(t)+1}+ln(\sqrt{\frac{11}{5}}cos(t)+\sqrt{\frac{11}{5}cos^2(t)+1})[/tex]

men svaret blir ikke godtatt.

[ThomasSkas]

Fikk fikset det. Takk for hjelpen!

[mttk]

Er ikke parametriseringen din feil? a og b i en elliptisk sylinderligning betegner vel utstrekning i hvert retning?
Dermed skal vel parametriseringen være slik:

[tex]x=6\cdot \cos(t)[/tex]
[tex]y= 3\cdot \sin(t)[/tex]