Utsagnslogikk

[Bruker]

Hei,

Jeg lurer på hvorfor denne her er sann. Blir ikke den første parentesen sann(For alle x finnes det en z slik at x<z, er ikke det sant? Eller har jeg forstått helt feil?)? Og den andre parentesen feil(Det at for alle x og for alle y er x>=y feil? Det vil jo finnes y som er større en x) slik at hele utsagnet blir feil?? Jeg skjønner ikke hvorfor utsagnet blir sant.

Derson universalmengden er de hele tall Z

[Brahmagupta]

Nøkkelen ligger i å vite nøyaktig hva $A\rightarrow B$ betyr. Denne implikasjonen er
kun usann hvis og bare hvis $A$ er sann og $B$ er usann. I alle andre tilfeller er den sann
($A\rightarrow B$ er logisk ekvivalent med $\neg A\lor B$)! Spesielt vil den alltid være sann
så lenge $A$ er usann. La oss nå se på utsagnet ditt,
\[\forall x\forall y\exists z ((x<z)\rightarrow (x\geq y)), \]
og la $A$ være $x<z$ og $B$ være $x\geq y$. Hvis det nå for enhver $x$ finnes en $z$ slik at
$x\geq z$, altså at $A$ er usann, så vil hele utsagnet være sant. Men dette er jo helt klart
tilfellet, gitt et heltall $x$ vil det alltid finnes et heltall $z$ som er større eller lik $x$.

Poenget her er altså at spørsmålet ikke er om det finnes $z$ slik at $A$ er sann, men om
det finnes en $z$ som gjør implikasjonen sann. Dermed utifra hva jeg forklarte over så
holder det om det finnes en $z$ som gjør $A$ usann, siden implikasjonen da er sann.

[aerce]

Nøkkelen ligger i å vite nøyaktig hva $A\rightarrow B$ betyr. Denne implikasjonen er
kun usann hvis og bare hvis $A$ er sann og $B$ er usann. I alle andre tilfeller er den sann
($A\rightarrow B$ er logisk ekvivalent med $\neg A\lor B$)! Spesielt vil den alltid være sann
så lenge $A$ er usann. La oss nå se på utsagnet ditt,
\[\forall x\forall y\exists z ((x<z)\rightarrow (x\geq y)), \]
og la $A$ være $x<z$ og $B$ være $x\geq y$. Hvis det nå for enhver $x$ finnes en $z$ slik at
$x\geq z$, altså at $A$ er usann, så vil hele utsagnet være sant. Men dette er jo helt klart
tilfellet, gitt et heltall $x$ vil det alltid finnes et heltall $z$ som er større eller lik $x$.

Poenget her er altså at spørsmålet ikke er om det finnes $z$ slik at $A$ er sann, men om
det finnes en $z$ som gjør implikasjonen sann. Dermed utifra hva jeg forklarte over så
holder det om det finnes en $z$ som gjør $A$ usann, siden implikasjonen da er sann.

Så $A$ kan både være sann og usann, fordi for hver $x$ finnes det en $z$ som både kan være større eller mindre $x$? Men vi velger en $z$ som er mindre enn $x$ for å få implikasjonen til å være sann, fordi målet er å se om implikasjon kan bli sann? Så \[\forall x\forall y\exists z ((x<z)\rightarrow (x\geq y)), \] kan både være sann og usann i forhold hva du velger $z$ skal være lik?

Kan du ta negasjonstegnet i $\neg A\lor B$ inn i $A$, og bare snu på ulikhetstegnet? fordi da skjønner jeg hvorfor den blir sann.

[Brahmagupta]

Og du sier "Men dette er jo helt klart tilfellet, gitt et heltall x vil det alltid finnes et heltall z som er større eller lik x.", sier ikke du at $A$ er sann her?

Beklager dette, jeg mente å skrive "mindre eller lik"! Ser at det skaper forvirring.
Og ja, det er også riktig at $\neg(x<z)$ er ekvivalent med $x\geq z$.

Setningen $\forall x\forall y (x<(x-1)\rightarrow x\geq y)$ er sann siden $x<(x-1)$ ikke
holder for noen heltall $x$ (enig?). Men da må jo også den opprinnelige setningen
være sann, siden det finnes minst en $z$, for eksempel $z=x-1$ eller $z=x$, slik at
setningen holder.

Det er altså helt riktig som du sier at det også finnes $z$ slik at setningen blir usann, men
vi er kun ute etter en $z$ som gjør setningen sann.

En setning på formen $\exists zP(z)$, hvor $P(z)$ er et eller annet utsagn med $z$ som
(fri) variabel, er sann hvis og bare hvis det finnes en $a$ i universalmengden slik
at $P(a)$ er sann. For eksempel er setningen $\exists z(0<z)$ sann, siden $7\in\mathbb{Z}$
og $(0<7)$ er sann. I vårt tilfelle er saken noe verre, vi har en setning på formen $\forall x\forall y \exists zP(x,y,z)$.
I dette tilfellet holder det å finne en $a=a(x,y)$ uttrykt ved $x$ og $y$ slik at $\forall x\forall y P(x,y,a(x,y))$
holder. Eksempelvis fungerer $a(x,y)=x-1$ i vår setning.

Det er altså helt riktig som du sier at det også finnes $z$ slik at setningen blir usann, men
vi er kun ute etter en $z$ som gjør setningen sann.

Forhåpentligvis ble saken litt klarere nå.