Implisitt Derivasjon

[ThomasSkas]

Hei!
Jeg får virkelig hodepine av en oppgave i Kalkulus. Den dreper rett og slett.
Det er denne (Skjermbilde): https://gyazo.com/c6b9232baf7253d32525827685e44e92

Ok, så jeg tenker jo implisitt derivasjon her. Jeg har derivert i hytt og pine, men ender opp med katastrofale uttrykk, og det ødelegger helt......

Jeg tok først og skrev: [tex]y(x)=\frac{2}{e^{7y(x)}}[/tex]

Denne deriverte jeg, og da endte jeg opp med: [tex]y'(x)=\frac{2-14x\cdot y'(x)}{e^{y(x)}}[/tex]

Jeg leser oppgaven, og ser jeg at jeg får jo oppgitt y(0) = 0, men dette vet jeg ikke hvordan eller når jeg skal utnytte.
Og vi skal finne y''(0) ?

I tillegg, prøvde jeg å derivere direkte den aller første gangen etter hvert:

[tex](2x)'=(y(x)e^{7y(x)})'[/tex]

[tex]2=y'(x)\cdot e^{7y(x)}+y(x)\cdot e^{7y(x)}\cdot 7y'(x)[/tex]

[tex]y'(x)=\frac{2}{7y(x)\cdot e^{7y(x)}+e^{7y(x)}}[/tex]

Trekker fellesfaktor utenfor:

[tex]y'(x)=\frac{2}{e^{7y(x)}(7y(x)+1))}[/tex]

Jeg vet virkelig ikke, oppgaven er lagd for å ødelegge en.

[Norm]

Skal gjøre et forsøk uten å vite helt om tunga er holdt bein nok, men svaret avhenger i stor grad av anvendelser av l'Hopitals regel:

[tex]y(0) = 0[/tex]

[tex]2 = y(x)' \left [ \frac{2x}{y(x)} + 14x \right ][/tex] som ved l'Hopitals regel gir [tex]y(0)' = 2[/tex]

Deriverer igjen, substituerer der det lar seg gjøre med [tex]y(x)[/tex], og ganger oppe og nede med [tex]y(x)[/tex] etter
å ha isolert [tex]y(x)''[/tex] på den ene siden og ender opp med

[tex]y(x)'' = - y(x)' \left [ 2 - \frac{2x}{y(x)}y(x)' + 14y(x) \right ] \cdot \left [ 2x + 14xy(x) \right ]^{-1}[/tex]

Gjentatt bruk av l'Hoptial der det må brukes for å få tak i grenseverdien [tex]\lim_{x \rightarrow 0}[/tex] gir:

[tex]\lim_{x \rightarrow 0} y(x)'' = \lim_{x \rightarrow 0} - y(x)' \left [ 14 y(x)' \right ] \left [ 2 + 14y(x) + 14xy(x)' \right ]^{-1}[/tex] = (l'Hopital) = - 28

[Charlie]

Skal gjøre et forsøk uten å vite helt om tunga er holdt bein nok, men svaret avhenger i stor grad av anvendelser av l'Hopitals regel:

[tex]y(0) = 0[/tex]

[tex]2 = y(x)' \left [ \frac{2x}{y(x)} + 14x \right ][/tex] som ved l'Hopitals regel gir [tex]y(0)' = 2[/tex]

Deriverer igjen, substituerer der det lar seg gjøre med [tex]y(x)[/tex], og ganger oppe og nede med [tex]y(x)[/tex] etter
å ha isolert [tex]y(x)''[/tex] på den ene siden og ender opp med

[tex]y(x)'' = - y(x)' \left [ 2 - \frac{2x}{y(x)}y(x)' + 14y(x) \right ] \cdot \left [ 2x + 14xy(x) \right ]^{-1}[/tex]

Gjentatt bruk av l'Hoptial der det må brukes for å få tak i grenseverdien [tex]\lim_{x \rightarrow 0}[/tex] gir:

[tex]\lim_{x \rightarrow 0} y(x)'' = \lim_{x \rightarrow 0} - y(x)' \left [ 14 y(x)' \right ] \left [ 2 + 14y(x) + 14xy(x)' \right ]^{-1}[/tex] = (l'Hopital) = - 28

Er svaret altså 1?

[ThomasSkas]

Skal gjøre et forsøk uten å vite helt om tunga er holdt bein nok, men svaret avhenger i stor grad av anvendelser av l'Hopitals regel:

[tex]y(0) = 0[/tex]

[tex]2 = y(x)' \left [ \frac{2x}{y(x)} + 14x \right ][/tex] som ved l'Hopitals regel gir [tex]y(0)' = 2[/tex]

Deriverer igjen, substituerer der det lar seg gjøre med [tex]y(x)[/tex], og ganger oppe og nede med [tex]y(x)[/tex] etter
å ha isolert [tex]y(x)''[/tex] på den ene siden og ender opp med

[tex]y(x)'' = - y(x)' \left [ 2 - \frac{2x}{y(x)}y(x)' + 14y(x) \right ] \cdot \left [ 2x + 14xy(x) \right ]^{-1}[/tex]

Gjentatt bruk av l'Hoptial der det må brukes for å få tak i grenseverdien [tex]\lim_{x \rightarrow 0}[/tex] gir:

[tex]\lim_{x \rightarrow 0} y(x)'' = \lim_{x \rightarrow 0} - y(x)' \left [ 14 y(x)' \right ] \left [ 2 + 14y(x) + 14xy(x)' \right ]^{-1}[/tex] = (l'Hopital) = - 28

Vi har ikke lært om L'Hopital ennå, så jeg antar at de ikke forutsetter å bruke den her?
Anyways, så skal jeg se på det du har gjort, og forstå det.

[Charlie]

Jeg sliter med den samme oppgaven, og tror ikke det er den måten oppgaven skal løses på for jeg får i hvertfall ikke riktig svar.
To venninner av meg løste oppgaven på en annen måte, og de fikk riktig svar.
Vi skal få ned 7y(x), som e er opphøyd i. Dermed vil vi få ln på begge sider av =. Videre skal vi derivere med hensyn på y(x), Det er her jeg får problemer.
Har du noen forslag på hvordan det kan løses på denne måten?

[zell]

Såvidt jeg kan se er L'Hôpitals regel unødvendig å bruke.

[tex]2x = y(x)\cdot e^{7y(x)} = y\cdot e^{7y}[/tex]

Deriverer implisitt:

[tex]2 = y^\prime e^{7y}+7yy^\prime e^{7y} \; \; (1)[/tex]

[tex]y^\prime = \frac{2}{e^{7y}(1+7y)}[/tex]

Gir at:

[tex]y'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{2}{e^{7y}(1+7y)} \ \stackrel{y(0) = 0}{=} \ \frac{2}{e^0(1+0)} = 2[/tex]

Deriverer [tex](1)[/tex] implisitt igjen:

[tex]0 = y^{\prime\prime}e^{7y}+7y^\prime y^\prime e^{7y}+7y^\prime y^\prime e^{7y}+7y(y^{\prime\prime}e^{7y}+7y^\prime y^\prime e^{7y})[/tex]

Reorganiser:

[tex]0 = y^{\prime\prime}e^{7y}(1+7y) + y^\prime e^{7y}(14y^\prime+49yy^\prime) \ \Rightarrow \ y^\prime (x) = -\frac{y^\prime (14y^\prime+49yy^\prime )}{1+7y}[/tex]

[tex]y^{\prime\prime}(0) = \lim_{x\to 0} -\frac{y^\prime (x) (14y^\prime (x)+49y(x)y^\prime (x))}{1+7y(x)} \; \stackrel{y(0)=0,\ y^\prime (0) = 2}{=} \; -\frac{2(2\cdot 14+0)}{1+0} = -56[/tex]

[ThomasSkas]

Det ser kanskje ut til at jeg var litt på vei, sammenliknet med Zell?
Men en ting, det oppgis at svaret skal skrives som et eksakt, rasjonelt tall.Er det da meningen at -28 skal omformes til et rasjonelt tall ettersom den ikke godtar -28?

[zell]

Måtte endre svaret mitt, var en bokføringsfeil der. Fikk -56.

[zell]

-56 er da vitterlig et rasjonelt tall.

[ThomasSkas]

-56 er da vitterlig et rasjonelt tall.

Tusen takk! Det ble riktig nå.
Det er interessant at det første jeg prøvde ut og skrev ovenfor, stemmer med det du også har gjort, hehe.
Da var jeg ikke helt på jordet der!
Men en liten ting. Jeg så også på det Euroshopper skrev, og jeg prøvde det bare ut litt, altså ta i bruk logaritmen:

[tex]2x=ye^{7y}[/tex]

[tex]\frac{2x}{y}=e^{7y}[/tex]

Da tar jeg logaritmen av begge sider:

[tex]ln(\frac{2x}{y})=lne^{7y}[/tex]

[tex]ln(2x)-ln(y)=7y[/tex]

[tex]y=\frac{ln(2x)-ln(y)}{7}[/tex]

[tex]y'=\frac{(ln(2x)-ln(y))\cdot 7-(ln(2x)-ln(y))\cdot 7'}{7^2}[/tex]

[tex]y'=\frac{(\frac{1}{2x}\cdot 2-\frac{1}{y}\cdot y')-0}{7^2}[/tex]

[tex]y'=\frac{(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\cdot y')\cdot 7}{49}[/tex]

[tex]y=\frac{\frac{1}{x}-\frac{y'}{y}}{7}[/tex]

Haha, vet ikke jeg, bare prøvde meg litt fram for moroskyld, er litt gøy å tulle emd slike oppgaver.

Takk igjen!

[LtSurge]

zells løsning er riktig, men den kan forenkles noe hvis man ser at uttrykket man får etter den første derivasjonen kan skrives som [tex]2 = y'(e^{7y}+14x)[/tex].

[Charlie]

Såvidt jeg kan se er L'Hôpitals regel unødvendig å bruke.

[tex]2x = y(x)\cdot e^{7y(x)} = y\cdot e^{7y}[/tex]

Deriverer implisitt:

[tex]2 = y^\prime e^{7y}+7yy^\prime e^{7y} \; \; (1)[/tex]

[tex]y^\prime = \frac{2}{e^{7y}(1+7y)}[/tex]

Gir at:

[tex]y'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{2}{e^{7y}(1+7y)} \ \stackrel{y(0) = 0}{=} \ \frac{2}{e^0(1+0)} = 2[/tex]

Deriverer [tex](1)[/tex] implisitt igjen:

[tex]0 = y^{\prime\prime}e^{7y}+7y^\prime y^\prime e^{7y}+7y^\prime y^\prime e^{7y}+7y(y^{\prime\prime}e^{7y}+7y^\prime y^\prime e^{7y})[/tex]

Reorganiser:

[tex]0 = y^{\prime\prime}e^{7y}(1+7y) + y^\prime e^{7y}(14y^\prime+49yy^\prime) \ \Rightarrow \ y^\prime (x) = -\frac{y^\prime (14y^\prime+49yy^\prime )}{1+7y}[/tex]

[tex]y^{\prime\prime}(0) = \lim_{x\to 0} -\frac{y^\prime (x) (14y^\prime (x)+49y(x)y^\prime (x))}{1+7y(x)} \; \stackrel{y(0)=0,\ y^\prime (0) = 2}{=} \; -\frac{2(2\cdot 14+0)}{1+0} = -56[/tex]

Etter denne utregningen skal jeg få -64, for at min oppgave er slik 2x=y(x)e^8y(x), men får ikke riktig når jeg taster det inn.

[zell]

Har med vilje droppet å poste mellomregningene.

[tex]2x = ye^{8y}[/tex]

[tex]y^\prime = \frac{2}{e^{8y}(1+8y)}[/tex]

[tex]y^\prime (0) = 2[/tex]

[tex]y^{\prime\prime} = \frac{-y^\prime (8y^\prime (1+8y)+8y^\prime)}{1+8y}[/tex]

[tex]y^{\prime\prime}(0) = -64[/tex]