x*sin(1/x)

[ThomasSkas]

Hei, jeg så på denne her nå:

https://gyazo.com/d54329cadaba9983c2666fc41d2045c3

Jeg ville sagt nei til alle de tre spørsmålene om deriverbarhet og kontinuitet på grunn av 1/x i sinusuttrykket, men jeg vet ikke om dette er riktig,
eller hvordan jeg skal løse oppgaven ved regning.

Please hjelp.

[skf95]

Vi har at

[tex]-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1[/tex]

[tex]-1x^2 \leq x^2 \sin \frac{1}{x} \leq 1x^2[/tex]

Bruker skviseteoremet og tar grenseverdien når x går mot null, og ser da at [tex]\lim_{x\rightarrow 0} x^2 \sin \frac{1}{x}= 0[/tex]

Ser du hvordan dette viser at funksjonen er kontinuerlig?

Edit; rettet til "mindre enn eller lik".

[ThomasSkas]

Vi har at

[tex]-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1[/tex]

[tex]-1x^2 \leq x^2 \sin \frac{1}{x} \leq 1x^2[/tex]

Bruker skviseteoremet og tar grenseverdien når x går mot null, og ser da at [tex]\lim_{x\rightarrow 0} x^2 \sin \frac{1}{x}= 0[/tex]

Ser du hvordan dette viser at funksjonen er kontinuerlig?

Edit; rettet til "mindre enn eller lik".

Hvis jeg har skjønt trinnene dine når du bruker skviseteoremet, så bruker du først at sin(1/x) har en største verdi på 1 og en minste verdi på -1.
Da har du altså tre funksjoner, som passer med skviseteoremet, også ganger du opp hver av dem med x^2.

Vi antar at [tex]\lim_{x->0}-x^2=\lim_{x->0}x^2=0[/tex]
Skviseteoremet gir da at [tex]\lim_{x->0}x^2sin(\frac{1}{x})=\lim_{x->0}-x^2=\lim_{x->0}x^2=0[/tex]

Jeg visste ikke at skviseteoremet kunne brukes til dette.

Men jeg ser ikke hvorfor dette betyr at den er kontinuerlig i x=0, og evt. deriverbar?

[Vektormannen]

Definisjonen av at funksjonen er kontinuerlig i x = 0 er at [tex]lim_{x \to 0} g(x) = g(0)[/tex]. Siden g(0) = 0 og du nettopp har vist at grensen også er 0, så er den kontinuerlig . Sagt noe mindre formelt har du vist at når vi nærmer oss 0 så går funksjonen mot 0 (desto nærmere 0 vi kommer, desto nærmere 0 blir funksjonsverdien). Den gjør ingen hopp, og er altså kontinuerlig.

edit: Når det gjelder deriverbar, se på definisjonen av den deriverte i x = 0.

[ThomasSkas]

Definisjonen av at funksjonen er kontinuerlig i x = 0 er at [tex]lim_{x \to 0} g(x) = g(0)[/tex]. Siden g(0) = 0 og du nettopp har vist at grensen også er 0, så er den kontinuerlig . Sagt noe mindre formelt har du vist at når vi nærmer oss 0 så går funksjonen mot 0 (desto nærmere 0 vi kommer, desto nærmere 0 blir funksjonsverdien). Den gjør ingen hopp, og er altså kontinuerlig.

edit: Når det gjelder deriverbar, se på definisjonen av den deriverte i x = 0.

Aha, ja, det skjønner jeg!!
Selvfølgelig, jeg håper å få styr på disse teoremene snart, og klare å bruke dem til å løse slike og andre problemer.