Flerdim - bevis
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
En funksjon f er kontinuerlig om det for enhver delta > 0 skal det finnes en epsilon > 0 slik at når x er med i [a,b] og |x-a| < epsilon, så er |f(x)-f(a)| < delta.
Siden f er deriverbar, eksisterer grenseverdien lim(x->a)(f(x)-f(a))/(x-a).
Om funksjonen synker i nærheten av a, da er lim(x->a)(f(x)-f(a))/(x-a) = delta/epsilon om begge nærmer seg null. Om funksjonen stiger er det rett og slett bare -delta/epsilon når begge nærmer seg null.
Men siden grenseverdien eksisterer, så må epsilon finnes for enhver delta i intervallet, og funksjonen må være kontinuerlig.
PS: Jeg er ikke helt sikker på om dette er korrekt altså. Det må taes med en klype salt! Jeg er ikke så dreven i dette, og jeg ville helst se om en av de flinke på dette forumet kommenterte dette, altså opplyste om det var et korrekt eller feilaktig resonnement!
Siden f er deriverbar, eksisterer grenseverdien lim(x->a)(f(x)-f(a))/(x-a).
Om funksjonen synker i nærheten av a, da er lim(x->a)(f(x)-f(a))/(x-a) = delta/epsilon om begge nærmer seg null. Om funksjonen stiger er det rett og slett bare -delta/epsilon når begge nærmer seg null.
Men siden grenseverdien eksisterer, så må epsilon finnes for enhver delta i intervallet, og funksjonen må være kontinuerlig.
PS: Jeg er ikke helt sikker på om dette er korrekt altså. Det må taes med en klype salt! Jeg er ikke så dreven i dette, og jeg ville helst se om en av de flinke på dette forumet kommenterte dette, altså opplyste om det var et korrekt eller feilaktig resonnement!