Hei!
Jeg prøver å løse oppgaven:
Water partially fills a hemispherical bowl of radius 30 cm so that the maximum depht of the water is 20 cm. What volume of water is in the bowl?
OK, det JEG har tenkt:
Dette er en skivemetode-oppgave, og denne halvkula dreier seg jo om y-aksen, dvs. V= "bestemt integral av A(y) dy"
hvor A(y) = pi*r^2
Altså vil jeg regne det slik:
V= pi * integralet fra 0 til 20 av den aktuelle radiusen^2 * dy
Det jeg ikke forstår nå er at radiusen ser ut til å være 30^2 - (y-30)^2.
Ellers regner jeg fint ut resten, men altså: Er det noen flinke folk som kan forklare hvorfor dette er radiusen?
Skivemetoden for å finne volum
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Du har at for en halvkule snudd oppned så varierer radiusen fra 0 cm helt ved bunnen av halvkula , til 30 cm ved toppen av halvkula, der radiusen ble målt.
[tex]i \cdot i \cdot i \cdot i = i \cdot i \cdot (-1) = (-1) \cdot (-1) = 1[/tex]
-
Gjest
Ingen som vet hvorfor radiusen blir slik, og kan forklare det som om jeg gikk i barnehagen? 
Hei!
Jeg burde jo hatt en tegning for å forklare, men jeg kan prøve med ord...
Tegn en halvsirkel inn i et koordinatsystem. Der x går fra -30 til 30 og y går fra 0 til 30. Bunn av halvsirkelen ligger i Origo.
Nå vil vi finne avstanden fra et tilfeldig punkt på y-aksen og rett ut til sirkelen. Dette blir jo radius i skivene dine. Hvordan kan vi vite hvor lang denne radiusen er?
Hmmmm????
Jo, nå vet jeg det!
Kall en linje fra y-aksen ut til sirkelen for r.
Trekk en linje fra der hvor denne radiusen møter sirkelen og til sirkelens Sentrum.(som ligger i (0,30)). Denne linjen blir jo radius i sirkelen, og må være 30cm.
Vi har nå en rettvinklet trekant hvor den ene siden er r, hypotenusen er 30 og det siste katetet blir 30 - y.
Bruk Pytogaoras setning og du finner et uttrykk for r.
Jeg vet ikke om du forstod det. Tegn det opp, så er det ikke så fryktelig vanskelig!
Og spør om du trenger mer hjelp.
Ivan
Jeg burde jo hatt en tegning for å forklare, men jeg kan prøve med ord...
Tegn en halvsirkel inn i et koordinatsystem. Der x går fra -30 til 30 og y går fra 0 til 30. Bunn av halvsirkelen ligger i Origo.
Nå vil vi finne avstanden fra et tilfeldig punkt på y-aksen og rett ut til sirkelen. Dette blir jo radius i skivene dine. Hvordan kan vi vite hvor lang denne radiusen er?
Hmmmm????
Jo, nå vet jeg det!
Kall en linje fra y-aksen ut til sirkelen for r.
Trekk en linje fra der hvor denne radiusen møter sirkelen og til sirkelens Sentrum.(som ligger i (0,30)). Denne linjen blir jo radius i sirkelen, og må være 30cm.
Vi har nå en rettvinklet trekant hvor den ene siden er r, hypotenusen er 30 og det siste katetet blir 30 - y.
Bruk Pytogaoras setning og du finner et uttrykk for r.
Jeg vet ikke om du forstod det. Tegn det opp, så er det ikke så fryktelig vanskelig!
Og spør om du trenger mer hjelp.
Ivan
Fremmad mot vannvidd og ære
Det som er saken, er at [tex]30^2 - (y - 30)^2[/tex] tilfredsstiller [tex]r = 30[/tex] i [tex]y = 30[/tex] og [tex]r = 0[/tex] i [tex]y = 0[/tex]. På samme måte: [tex](20^2 - (20 - y)^2) = 40 \cdot y - y^2 \neq y^2[/tex] to ulike polynomer som tilfredsstiller samme betingelser i [tex]r = 0, r = 20[/tex]. Men der slutter likeheten. Du integrerer to forskjellige funksjoner. QED
[tex]i \cdot i \cdot i \cdot i = i \cdot i \cdot (-1) = (-1) \cdot (-1) = 1[/tex]
-
Gjest
Tusen takk, Robinboy /Ivan!
Setter stor pris på at du tok deg tid til å svare meg.
Jeg får riktig svar nå! Selv om min formel for radiusen er kvadratrota av 30^2 -(30-y)^2, mens boka har kvadratrota av 30^2 -(y-30)^2.
Hvorfor tenker de at "y-30" er den ene kateten, mens jeg tenker "30-y"?
Setter stor pris på at du tok deg tid til å svare meg.
Jeg får riktig svar nå! Selv om min formel for radiusen er kvadratrota av 30^2 -(30-y)^2, mens boka har kvadratrota av 30^2 -(y-30)^2.
Hvorfor tenker de at "y-30" er den ene kateten, mens jeg tenker "30-y"?
$(30-y)^2$ og $(y-30)^2$ er egentlig to helt ekvivalente uttrykk:Gjest skrev:Tusen takk, Robinboy /Ivan!
Setter stor pris på at du tok deg tid til å svare meg.
Jeg får riktig svar nå! Selv om min formel for radiusen er kvadratrota av 30^2 -(30-y)^2, mens boka har kvadratrota av 30^2 -(y-30)^2.
Hvorfor tenker de at "y-30" er den ene kateten, mens jeg tenker "30-y"?
$(30-y)^2 = (30-y)(30-y) = (-1)(30-y)(-1)(30-y) = (y-30)(y-30)=(y-30)^2$, ettersom $(-1)(-1)=1$
De tenker nok ikke at $y-30$ er den ene kateten, men har heller gjort om litt på uttrykket