Grenseverdier

[pi-ra]

Det er noe som ikke gir mening her...

Hva er det som gjør at a) [tex]\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n+1}[/tex] går mot [tex]1[/tex], imens

b) [tex]\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n!}[/tex] går mot [tex]0[/tex]?

For a) tenkte jeg først man deler hvert ledd på [tex]n[/tex] slik at [tex]\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}[/tex] = [tex]\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{0}{1+0} = 0[/tex].
Men så tenkte jeg det kan ha noe med at man ikke har med et [tex]\frac{\infty}{\infty}[/tex] uttrykk å gjøre. Så da fjernet jeg bare 1(som har liten betydning) i nevneren og ganget med n, og fikk at grenseverdien går mot 1.

Men så kom jeg til b) og heller ikke her har jeg et uendelig over uendelig-uttrykk. Så jeg bruker samme metode og ganger med [tex]n![/tex] men det gir meg [tex]1[/tex] som ikke er riktig svar. Er helt forvirret, noen som kan forklare forskjellen?
Ville vært svært takknemlig!

[Vektormannen]

Det gir ikke mening fordi det ikke stemmer. Grenseverdien i a) går mot 0. Hvis du setter inn 1000 så er jo verdien allerede nede i ca 0.001, og den vil bare bli mindre desto større n blir.

[pi-ra]

Det gir ikke mening fordi det ikke stemmer. Grenseverdien i a) går mot 0. Hvis du setter inn 1000 så er jo verdien allerede nede i ca 0.001, og den vil bare bli mindre desto større n blir.

Kanskje det gir mer mening om jeg gir konteksten: I tilfellet i a) er det spurt om å finne konvergensområdet til [tex]\sum_{0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{n!}[/tex].
Så ved å bruke forholds/ratiotesten står jeg igjen med [tex]\lim_{n \to \infty} \left | \frac{x^2}{n+1} \right |[/tex]

[Vektormannen]

Den grenseverdien blir 0 uansett hva x er, så forholdstesten gir at rekka må konvergere for alle x. Hva er det som skal bli 1, og hvor står det?

[pi-ra]

Den grenseverdien blir 0 uansett hva x er, så forholdstesten gir at rekka må konvergere for alle x. Hva er det som skal bli 1, og hvor står det?

Nei, det var det jeg lurte på egentlig. Så om jeg får 0 som svar betyr det at rekken konvergerer for alle verdier av x? Hva er forklaringen på det?

[Vektormannen]

Ja, hvis grenseverdien blir 0 så må rekken konvergere for alle x. Forholdstesten sier jo at dersom grensverdien av forholdet mellom to påfølgende ledd i rekka blir mindre enn 1, så vil rekka konvergere. Her skjer det uavhengig av hva x er. Altså kan vi putte inn en hvilken som helst verdi for x uten at det forandrer på grenseverdien i forholdstesten, og altså må rekka konvergere uansett hva x er.

[pi-ra]

Ja, hvis grenseverdien blir 0 så må rekken konvergere for alle x. Forholdstesten sier jo at dersom grensverdien av forholdet mellom to påfølgende ledd i rekka blir mindre enn 1, så vil rekka konvergere. Her skjer det uavhengig av hva x er. Altså kan vi putte inn en hvilken som helst verdi for x uten at det forandrer på grenseverdien i forholdstesten, og altså må rekka konvergere uansett hva x er.

Ah, skjønner!

Vil det si vi ikke har noen x-verdier hvor summen er betinget?
Oppgaven spør også om "interval of convergence" og "for which x values does the series converge absolutely", så hva er egentlig forskjellen på konvergensintervallet og det absolutte konvergensintervallet, generelt for sånne type oppgaver? Når man finner konvergensområdet vha. ratiotesten finner man det absolutte konvergensområdet, så hvordan finner man isåfall bare konvergensintervallet?

[Vektormannen]

Stemmer, siden grenseverdien er 0, altså mindre enn 1, for alle x, så vil rekka konvergere absolutt uansett x-verdi. Konvergensintervallet her blir altså alle de reelle tall, og rekka konvergerer absolutt for alle x i det intervallet.

Det er som du sier at forholdstesten gir deg det absolutte konvergensområdet. I tillegg forteller den deg når rekken kan konvergere, nemlig når grensen blir akkurat 1. Da må du undersøke, vha andre metoder, om rekka konvergerer eller divergerer for de x-verdiene som gjør at grenseverdien blir 1.

[pi-ra]

Det er som du sier at forholdstesten gir deg det absolutte konvergensområdet. I tillegg forteller den deg når rekken kan konvergere, nemlig når grensen blir akkurat 1. Da må du undersøke, vha andre metoder, om rekka konvergerer eller divergerer for de x-verdiene som gjør at grenseverdien blir 1.

Okei, så om jeg har forstått det riktig - om man skulle få et absolutt intervall hvor x ligger mellom <-2, 2> så sier du at -2 og 2 kan være potensielle verdier hvor x konvergerer.
Så la oss si disse endepunktene faktisk konvergerer, vil det bety at konvergensområdet vil være for x mellom [-2, 2] ?

Den samme oppgaven jeg beskrev tidligere her spør også om "radius of convergence". Hva er radiusen i tilfeller hvor x er alle reelle tall?

[Vektormannen]

Ja, det stemmer, men bare hvis -2 og 2 er verdier som gjør at grenseverdien blir 1 da (som det vel nesten alltid vil).

Konvergensradien er det tallet r som er slik at rekka konvergerer når [tex]|x| < r[/tex]. Her blir konvergensradien [tex]\infty[/tex] (strengt tatt ikke et tall, men det er vanlig å si at konvergensradien er uendelig).

[pi-ra]

Ja, det stemmer, men bare hvis -2 og 2 er verdier som gjør at grenseverdien blir 1 da (som det vel nesten alltid vil).

Ja, så la oss si jeg hadde en rekke som alternerer mellom å være positiv og negativ. Jeg finner ut av at de konvergerer absolutt for x mellom <-2,2> vha. forholdstesten - også tester jeg ut om endepunktene, -2 og 2, konvergerer når de blir satt inn i uttrykket vha. testen for alternerende rekker. Gitt at disse verdiene faktisk oppfylte kravet for den alternerende testen, vil konvergensområdet da være I = [-2,2]?

Konvergensradien er det tallet r som er slik at rekka konvergerer når [tex]|x| < r[/tex]. Her blir konvergensradien [tex]\infty[/tex] (strengt tatt ikke et tall, men det er vanlig å si at konvergensradien er uendelig).

Hmm. For en sum hvor intervallet konvergerer for x mellom <-4,12> , hva vil konvergensradien være i dette tilfellet? Og hvordan regnes det ut?

[Vektormannen]

Førstnevnte spørsmål: Stemmer

Når det gjelder konvergensradius så vil det alltid bli slik at en potensrekke konvergerer absolutt i et symmetrisk intervall rundt senteret til rekken (kan du tenke deg hvorfor?), så en rekke der leddene inneholder potenser av bare x (og ikke f.eks. (x - 4)) vil ikke kunne har et slikt kovnergensintervall som det du viser til. Men, siden 4 er midt mellom -4 og 8, kan det være konvergensintervallet til en rekke med senter i 4, og i det tilfellet vil vi da ha konvergens for [tex]|x - 4| < 8[/tex]. Konvergensradien er da 8.

[pi-ra]

Førstnevnte spørsmål: Stemmer

Fantastisk!

Når det gjelder konvergensradius så vil det alltid bli slik at en potensrekke konvergerer absolutt i et symmetrisk intervall rundt senteret til rekken (kan du tenke deg hvorfor?), så en rekke der leddene inneholder potenser av bare x (og ikke f.eks. (x - 4)) vil ikke kunne har et slikt kovnergensintervall som det du viser til. Men, siden 4 er midt mellom -4 og 8, kan det være konvergensintervallet til en rekke med senter i 4, og i det tilfellet vil vi da ha konvergens for [tex]|x - 4| < 8[/tex]. Konvergensradien er da 8.

Synes det er vanskelig å skjønne hvorfor det blir som du beskriver. Å skjønne hvordan man skal sette opp formelen og løse den i det hele tatt.

Jeg har prøvd meg litt fram og funnet ut av at det funker å ta den (den største verdien - minste verdien)/2 for å få riktig konvergensradie (som i dette tilfellet blir (12-(-4))/2 = 8). Har dette noen sammenheng med den metoden/formelen du snakker om?

[Vektormannen]

Ja, det vil gi deg konvergensradien å gjøre det på den måten, men hvis du har kommet frem til at konvergensintervallet er (-4, 12) så må du ha hatt en potensrekke der leddene inneholder potenser av (x - 4). Da må du på et eller annet tidspunkt ha hatt en ulikhet som involverer [tex]|x-4|[/tex] når du tar grenseverdien i forholdstesten. Fra den ulikheten kan du finne at [tex]|x - 4| < 8[/tex]. Men det er såklart ikke galt å gå videre med ulikheten og komme frem til at -4 < x < 12 og så finne radien ved å ta største minus minste og dele på 2. Dette er kanskje litt vagt, og det er litt vanskelig å forstå hva du syns er vanskelig.

[pi-ra]

Ja, det vil gi deg konvergensradien å gjøre det på den måten, men hvis du har kommet frem til at konvergensintervallet er (-4, 12) så må du ha hatt en potensrekke der leddene inneholder potenser av (x - 4). Da må du på et eller annet tidspunkt ha hatt en ulikhet som involverer [tex]|x-4|[/tex] når du tar grenseverdien i forholdstesten. Fra den ulikheten kan du finne at [tex]|x - 4| < 8[/tex]. Men det er såklart ikke galt å gå videre med ulikheten og komme frem til at -4 < x < 12 og så finne radien ved å ta største minus minste og dele på 2. Dette er kanskje litt vagt, og det er litt vanskelig å forstå hva du syns er vanskelig.

Ah, da ga alt mening. Tusentakk!