Lengde av skjæringskurven mellom kule og sylinder

[Nibiru]

Noen som kan hjelpe meg med denne? Har tenkt at jeg må først parametrisere kurven vha av t, også bruke at lengden blir [tex]\int|\frac{dr}{dt}|dt[/tex]. Jeg har prøvd å parameterisere kurven både på vanlig måte uttrykt ved t, og uttrykt vha trigonometriske funksjoner, men kommer aldri til mål. I tillegg er jeg usikker på integrasjonsgrensene.

[Gustav]

Hva får du som parametrisert kurve ?

[Janhaa]

tilsvarende oppgave

http://www.mymathforum.com/viewtopic.php?f=15&t=42843

[Nibiru]

Ok, tusen takk! Da gikk det opp tror jeg. Men hvordan vet jeg at grensene er 0 to 2pi? (Skjønner vel at det er kanskje logisk, men fortsett høres litt tilfeldig ut for meg)

[Nibiru]

Hei igjen! Trenger hjelp med oppgave 2b):
https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma410 ... innl_1.pdf

Hvordan går jeg frem for å vise at kurven er skjæringskurven mellom kule og plan? Det er på en måte en motsatt prosess av den første oppgaven jeg spurte om. Men jeg ser ikke hvordan skal dette bevises. Jeg ser at radius blir r=|r(t)|=2, men hvordan viser jeg sentrum? (Jeg får jo x^2+y^2+z^4=2, men det er jo en kule som jeg føler ikke er så relevant til oppgaven).

[Janhaa]

Hei igjen! Trenger hjelp med oppgave 2b):
https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma410 ... innl_1.pdf
Hvordan går jeg frem for å vise at kurven er skjæringskurven mellom kule og plan? Det er på en måte en motsatt prosess av den første oppgaven jeg spurte om. Men jeg ser ikke hvordan skal dette bevises. Jeg ser at radius blir r=|r(t)|=2, men hvordan viser jeg sentrum? (Jeg får jo x^2+y^2+z^4=2, men det er jo en kule som jeg føler ikke er så relevant til oppgaven).

kan du ikke bare vise at oppgitt kurve er en sirkel med sentrum i origo og radius lik [tex]\sqrt{2}[/tex]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... %28t%29%7D

[Nibiru]

Tja, da blir det vel ellipse?

Siden x=y, kan vi skrive at [tex]x^2+x^2+z^2=4[/tex] som gir [tex]\frac{x^2}{(\sqrt(2))^2}+\frac{z^2}{2^2}=1[/tex]. Altså vi har en ellipse (som er en spesiell tilfelle av en sirkel) med halvaksene [tex]\sqrt(2)[/tex] og [tex]2[/tex], som ligger i [tex]xz[/tex]-planet, med sentrum i origo. Er dette da svaret på den andre delen av spørsmålet?
Hvordan svarer jeg da på første delen? Tenkte at man bør ta i utgangspunkt i generelle formelen for kule([tex]x^2+y^2+z^2=r^2[/tex]) og plan([tex]x+y+z=k[/tex]), og ved noen slags form for manipulasjon vise at vår kurve passer som skjæringskurve mellom disse to.

[Janhaa]

Tja, da blir det vel ellipse?
Siden x=y, kan vi skrive at [tex]x^2+x^2+z^2=4[/tex] som gir [tex]\frac{x^2}{(\sqrt(2))^2}+\frac{z^2}{2^2}=1[/tex]. Altså vi har en ellipse (som er en spesiell tilfelle av en sirkel) med halvaksene [tex]\sqrt(2)[/tex] og [tex]2[/tex], som ligger i [tex]xz[/tex]-planet, med sentrum i origo. Er dette da svaret på den andre delen av spørsmålet?
Hvordan svarer jeg da på første delen? Tenkte at man bør ta i utgangspunkt i generelle formelen for kule([tex]x^2+y^2+z^2=r^2[/tex]) og plan([tex]x+y+z=k[/tex]), og ved noen slags form for manipulasjon vise at vår kurve passer som skjæringskurve mellom disse to.

ja, det virker rimelig. jeg er ganske rusten på dette.

ellers kan du vel for første del evt skrive:
[tex]y=k-x-z[/tex]

så sette y inn i kulelikning:

[tex]x^2+(k-x-z)^2+z^2=r^2[/tex]

så blir nok dette en eller annen ellipse...

[Vektormannen]

Det er ikke helt riktig at kurven ligger i xz-planet. Det ser vi simplethen ved at y ikke er 0 hele tiden! Du kunne like godt ha byttet ut x med y i ligningen og fått noe annet.

For å vise at kurven ligger på en kule er det nok å vise at [tex]|\vec{r}|^2[/tex] er konstant. For å vise at den også ligger på et plan kan vi f.eks. finne tre punkter på kurven og regne ut normalvektoren (kryssprodukt av to vektorer mellom dem) og se om normalvektoren gir 0 når den ganges med en generell vektor fra punktet som fås ved paramterverdi t, til et av de tidligere punktene.

For å finne sentrum kurven kan du benytte deg av at det må ligge halvveis mellom punktene du får ved [tex]t = 0[/tex] og [tex]t = \pi[/tex] (hvorfor?)

[Nibiru]

og se om normalvektoren gir 0 når den ganges med en generell vektor fra punktet som fås ved paramterverdi t, til et av de tidligere punktene.

For å finne sentrum kurven kan du benytte deg av at det må ligge halvveis mellom punktene du får ved [tex]t = 0[/tex] og [tex]t = \pi[/tex] (hvorfor?)

Hei. Takk for svar Vektormannen. Akkurat den delen skjønner jeg ikke helt. Jeg skjønner vel at vi kan finne et plan gjennom kurven og at oppgaven deretter er å vise at dette planet også skjærer kulen. Videre skjønner jeg at når normalvektoren ganges med r(t), vil vi få 0, siden de to vektorene står 90 grader på hverandre. Men dette vel beviser ikke at planet skjærer kulen, gjør det?

Må det ligge halvveis fordi ved t=pi får vi en halvsirkel som da gir oss avstanden til sentrum hvis man deler på 2? (Ganske dårlig forklaring, men vet ikke helt hvordan forklare det).

[Vektormannen]

Det er ikke slik at [tex]\vec{r}(t) \cdot \vec{n} = 0[/tex]. Det er vektorer mellom forskjellige punkt i planet som må gi 0 når de ganges med normalvektoren. Så vi kan f.eks. si at [tex](\vec{r}(t) - \vec{r}_0) \cdot \vec{n} = 0[/tex], der [tex]\vec{r}_0[/tex] er et eller annet fast punkt på kurven. Når jeg tok tre punkt på kurven (t = 0, t = pi og t = pi/2) så fikk jeg at [tex]\vec{n} = (-1, 1, 0)[/tex]. Ganger vi denne med f.eks. [tex]\vec{r}(t) - \vec{r}_0 = (\sqrt 2 (\cos t - 1), \sqrt 2 (\cos t - 1), 2 \sin t)[/tex] ser vi at vi får 0, uansett verdi av t. Med andre ord må alle punkt på kurven ligge i planet med normalvektor (-1, 1, 0) som går gjennom punktene som ble funnet. Da har vi vist at det finnes et plan som skjærer kula og gir den skjæringskurven her.

Det stemmer det . Vi vet at [tex]t = \pi[/tex] (en halv periode) må gi oss et punkt som er på "diamentralt" motsatt side av ellipsen så om vi tar vektoren fra punktet ved t = 0 til punktet ved [tex]t = \pi[/tex] så må halvparten av denne vektoren være en vektor som peker fra punktet ved t = 0 til sentrum i ellipsen. Husk at den vektoren ikke gir deg koordinatene til sentrum, bare hvor langt sentrum ligger fra punktet ved t = 0.

[Nibiru]

Tusen takk! Nå skjønner jeg alt.