Taylor error

[Zeph]

Tar litt tid før jeg får skikkelig taket på det her, og lurer på en liten sak her.

Jeg har en funksjon [tex]f(x)=x^{\frac{1}{3}}[/tex]. Ut i fra denne skal jeg approksimere [tex]9^{\frac{1}{3}}[/tex] ved hjelp av [tex]P_2(x)[/tex] rundt 8. Jeg skal finne det minste intervallet jeg vet inneholder den eksakte verdien.


Selve approksimasjonen går smertefritt, og ender opp med

[tex]9^{\frac{1}{3}}\approx{2+\frac{1}{12}-\frac{1}{288}}\approx{2,07986}[/tex]

Når jeg skal finne error har jeg selvfølgelig

[tex]Err_2=\frac{f^{3}(c)}{6}[/tex], hvor [tex]8\leq{c}\leq{9}[/tex]

Det jeg virker å slite med i hver oppgave, er å bestemme hvilken verdi av c jeg skal bruke til å finne K.

I denne oppgaven prøvde jeg meg frem for å matche fasiten, og fant ut at [tex]c=8[/tex], altså [tex]\frac{10}{27}8^{\frac{8}{3}}[/tex] gav den riktige verdien for intervallet.

Hvorfor virket 8 i dette tilfellet? Hvordan skal jeg tenke for å bestemme disse verdiene?

[Gustav]

$f'(x)=\frac13 x^{-\frac23}$, $f''(x)=-\frac13\frac23x^{-\frac53}$, $f^{(3)}(x)=\frac{10}{3^3}x^{-\frac83}$.

Det er klart at $f^{(3)}(8)\geq f^{(3)}(x)$ for alle $x\in[8,9]$.

Altså finner vi en øvre grense for feilen ved å sette inn for $x=8=2^3$.

Det du skal tenke på her er å lete etter en x som er på formen $n^3$, og som samtidig vil gi en øvre grense for feilen.

[Zeph]

Ok, det lyste ting litt opp for meg.

Så, gjelder dette alle typer funksjoner?


I forrige oppgave du hjalp meg med, så skrev du jo [tex]7^5[/tex], som ikke er på samme formen som over.

[Gustav]

I den forrige oppgaven var feilleddet $x^{-\frac52}$. Da måtte vi bruke en x på formen $n^2$.

I denne oppgaven var feilen $x^{-\frac83}$, så vi måtte bruke en x på formen $n^3$.

Antar du ser sammenhengen her. Grunnen er at vi på den måten slipper å regne ut røtter, og får eksakte uttrykk.

[Zeph]

Da skjønner jeg. Tusen takk for infomasjon, alt ble så mye enklere !