Mer lineæravbildning

[dan]

Anta at [tex]F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n [/tex] tilfredsstiller:


F(cx + dy) = c*F(x) + d*F(y), når c og d er tall, og x og y vektorer i R^n.
Vis at F er en lineæravbildning.


Jeg tenkte først at jeg kunne gjøre dette:

La c*x = p, d*y= q. Dersom F ikke er en lineæravbildning kan den ikke tilfredsstille: (1) F(p+q) = F(p) + F(q) og samtidig F(c*x) = x*F(x) og F(d*y) = d*F(y). Siden begge disse kravene er oppfylt, kan ikke F ikke være en lineæravbildning.

Er dette bare tungvindt, eller i det heletatt rett?
Takker

[dan]

Og en til:

Anta at a1, a2 er vektorer i R^2. (a1, a2 er forskjellige fra null og ikke parallelle).

Vis at det finnes nøyaktig èn lineæravbildning T: R^2 -> R^2 så:

T(a1) = b1 og T(a2) = b2 når b1, b2 er vektorer i R^2.

Jeg vet ikke om jeg forstår essensen her (det er vel ikke urimelig å anta at det finnes lineæravbildninger fra vilkårlige vektorer til vikårlige vektorer i samme dimensjon..? Er poenget å vise at det kun finnes èn lineæravbildning fra a1 til b1 kanskje? Hva er i såfall nytten med å vise det for a2 -> b2?).

Antar at P er matrisen til T. Da er P*a1 = b1. Jeg skiver a1 som (a1_1, a1_2) og b1 = (b1_1, b1_2).

P*a1 = (P_11*a1_1 + P_21*a1_2, P_21*a1_1 + P_22*a1_2) = (b1_1, b1_2)

Jeg antar så at det finnes en annen lineæravbildning G så G(a1) = b1, og lar Q være matrisen til G.

Da gjelderr også at G*a1 = (Q_11*a1_1 + Q_21*a1_2, Q_21*a1_1 + Q_22*a1_2) = (b1_1, b1_2), og vi ser med dette at G og T må være like avbildninger siden matrisene deres er like.

Det samm gjelder naturligvis for vektorene a2 og b2 også.

Jeg kan ikke se for meg at det var dette oppgaven ville frem til?

Tusen takk for all hjelp!

[Gustav]

Første innlegg:

Det er to ting man må sjekke,

1) F(x+y)=F(x)+F(y) for alle vektorer x,y.

2) F(kx)=kF(x) for alle skalarer k og vektorer x.


Vi har at F(cx+dy)=cF(x)+dF(y) for alle skalarer c,d og vektorer x,y.

Velg c=d=1 som spesialtilfeller, og 1) følger.

Velg d=0, og 2) følger.

Hensikten med oppgaven er kanskje å understreke ekvivalensen mellom de to definisjonene på en lineær avbildning.

[Gustav]

Andre innlegg:

Du trenger ikke bruke matriser.

Hint: Vis at når det er gitt at T er lineær og at [tex]T(a_1)=b_1[/tex] og [tex]T(a_2)=b_2[/tex], så er T(x) entydig bestemt for alle x i [tex]\mathbb{R}^2[/tex].

Du må her bruke at mengden [tex]\{a_1,a_2\}[/tex] er en basis for [tex]\mathbb{R}^2[/tex] når [tex]a_1[/tex] og [tex]a_2[/tex] ikke er parallelle og ulik 0.

[Eksplisitt]

Kan nummer to løses slik?

[tex]\mathbf{T}(\mathbf{x})=C\mathbf{x}=\begin{pmatrix}c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_{11}x_1 & c_{12}x_2 \\ c_{21}x_1 & c_{22}x_2\end{pmatrix}[/tex]

[tex]\mathbf{T}(\mathbf{a_1})=\mathbf{b_1}, \mathbf{T}(\mathbf{a_2})=\mathbf{b_2}[/tex] gir 4 lineære ligninger med 4 ukjente. Altså er løsningen entyding.

[Gustav]

Kan nummer to løses slik?

[tex]\mathbf{T}(\mathbf{x})=C\mathbf{x}=\begin{pmatrix}c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_{11}x_1 & c_{12}x_2 \\ c_{21}x_1 & c_{22}x_2\end{pmatrix}[/tex]

[tex]\mathbf{T}(\mathbf{a_1})=\mathbf{b_1}, \mathbf{T}(\mathbf{a_2})=\mathbf{b_2}[/tex] gir 4 lineære ligninger med 4 ukjente. Altså er løsningen entyding.

Det er ikke noe automatikk i at fire ligninger med fire ukjente gir en entydig løsning, så resonnementet holder ikke helt.

[Gustav]

En mulig løsning på den andre oppgaven:

Siden [tex]a_1[/tex] og [tex]a_2[/tex] er ikke-parallelle er de også lineært uavhengige og utgjør da en basis for [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. For enhver vektor x vil det da finnes unike konstanter c,d slik at [tex]x=ca_1+da_2 [/tex]. Det følger av lineariteten til T at [tex]T(x)=T(ca_1+da_2)=cT(a_1)+dT(a_2)=cb_1+db_2[/tex], altså er T entydig bestemt for alle x.

[Eksplisitt]

Kan nummer to løses slik?

[tex]\mathbf{T}(\mathbf{x})=C\mathbf{x}=\begin{pmatrix}c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_{11}x_1 & c_{12}x_2 \\ c_{21}x_1 & c_{22}x_2\end{pmatrix}[/tex]

[tex]\mathbf{T}(\mathbf{a_1})=\mathbf{b_1}, \mathbf{T}(\mathbf{a_2})=\mathbf{b_2}[/tex] gir 4 lineære ligninger med 4 ukjente. Altså er løsningen entyding.

Det er ikke noe automatikk i at fire ligninger med fire ukjente gir en entydig løsning, så resonnementet holder ikke helt.

OK. Takk for svaret.

Men er det noen måte å si om et ligningssett som dette har én eller flere løsninger?
[tex]x_{11} \cdot a_{11} + x_{12} \cdot a_{12} = b_{11}\\x_{21} \cdot a_{11} + x_{22} \cdot a_{12} = b_{12}\\ x_{11} \cdot a_{21} + x_{12} \cdot a_{22} = b_{21} \\ x_{21} \cdot a_{21} + x_{22} \cdot a_{22} = b_{22} [/tex]

[Gustav]

Du kan skrive systemet slik

[tex]\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 & 0\\ a_{21}&a_{22} & 0 & 0 \\0&0&a_{11}&a_{12}\\0&0&a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{11}\\x_{12}\\x_{21}\\x_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_{11}\\b_{21}\\b_{12}\\b_{22}\end{pmatrix}[/tex].

Dette systemet har én løsning dersom den første 4 x 4 matrisen er inverterbar, altså dersom determinanten er ulik 0.

Systemet kan ha enten ingen eller flere løsninger dersom 4 x 4 matrisa ikke er invertibel, det kommer an på om b-vektoren ligger i kolonnerommet til 4 x 4 matrisa eller ikke.