Tilsynelatende enkel kombinatorikkoppgave

[193]

Hei, jeg har eksamen i diskret matematikk i morgen, og raskt svar ville derfor bli satt stor pris på. Oppgaven er denne:

I et selskap er det 10 personer. Selskapet består av fire menn og seks kvinner. Det skal velges en komite av tre personer med en leder. Hvor mange måter finnes det å velge komite og leder på når komiteen skal ha minst én kvinne og minst én mann?

Mitt løsningsforslag:
"Velger først
én mann - 4 muligheter, så
én kvinne - 6 muligheter.
Totalt 8 mulige valg av leder for hvert par av mann_1 og kvinne_1.
Antall måter blir da
[tex]4*6*8=192[/tex]"

Løsningsforslaget sier derimot
"Tilfelle 1: én mann: [tex]4*6C2*2=180[/tex]
Tilfelle 2: én kvinne: [tex]6*4C2*3=108[/tex]
Totalt antall måter er 288 ved addisjonsprinsippet." (fritt gjengitt)

Jeg antar at det skal være 188 og ikke 288, men uansett forstår jeg ikke hvorfor min fremgangsmåte er feil.

[Lord X]

Det skal vel vere [tex]4\cdot{6\choose{2}}\cdot{3}[/tex] på den første fra fasiten der?

Og summen [tex]180+108=288[/tex], så forstår ikkje kvifor det skulle vere 188?

Angåande din metode:

Du reknar ut antalet kombinasjonar vi kan få som er slik at det er ein mann og ei kvinne som IKKJE er leiar.

Men du kan jo fint f.eks. ha ein mann som leiar og to kvinner som ikkje er det, så du får ikkje dekka alle mulighetene med denne framgangsmåten.

[193]

Takk for svar. Det var selvsagt 188 som stod i løsningsforslaget, mens addisjonsprinsippet ganske riktig skulle gi 288.

[Lord X]

Ellers kan du bruke din metode også, så lenge du tar med alle moglegheitene. I tillegg til dei 192 du har funne må du også sjå på fylgjande situasjonar:

1. Kvinnelig leiar + 2 menn
2. Mannleg leiar + 2 kvinner

I tilfellet nr.1 har vi [tex]{4\choose{2}}\cdot{6}=36[/tex] moglegheiter

I tilfellet nr. 2 har vi [tex]{6\choose{2}}\cdot{4}=60[/tex] moglegheiter

Totalt: [tex]192+36+60=288[/tex]