Finne stasjonære punkter for funksjon av to variabler

[ZizouJR]

Har en oppgave jeg er litt usikker på:

gitt funksjonen: f(x,y)=0,5x^4+3y^2-6xy

"Finn eventuelle stasjonære punkter og klassifiser dem".

Er usikker på første delen, altså finne eventuelle stasjonære punkter.


Man har altså at stasjonære punkter er gitt når f'1(x,y)=0 og f'2(x,y)=0

(1) f'1(x,y)= 2x^3-6y
(2) f'2(x,y)= 6y-6x

Ved hjelp av innsettingsmetoden får jeg:

(2) 6y=6x -> y=x

setter så (2) inn i (1):

2x^3-6x=0 -> 2x(x^2-3)=0 -> x=0 , x= +- [symbol:rot]3

Det vil jo da si at vi har stasjonære punkter i (0,0,) og punktene +- roten av 3 for x & y verdi.(litt for slapp til å få inn symboler:d)

Men når jeg setter inn disse verdiene i f'1 og f'2 får jeg bare 0 for punktet (0,0).. hva har jeg gjort feil her?

De to andre punktene skulle vel også gitt 0, og av den grunn vært stasjonære punkter?

[Nebuchadnezzar]

Ser ikke noe galt i utregningen din (0,0) kan for eksempel være et saddelpunkt. For å klassifisere punktene må du ser på de dobbelderiverte, ellerhva som skjer når en nærmer seg punktet fra ulike retninger.

[ZizouJR]

Har klassifisert dem, og finner da at alle 3 er sadelpunkter.

Problemet er bare at når jeg setter inn +- roten av 3 punktene i (1) (2) blir det ikke 0, og da er det vel ikke noe stasjonært punkt?

Sadelpunkter er jo også stasjonære punkter slik jeg har forstått det.

Bare at f''11 x f''22 - (f''12)^2 <0 og ikke >0 slik det er for maks. og min. punkter.

[Nebuchadnezzar]

Det er helt riktig at du skal få null når du setter inn løsningene dine i de deriverte.
Og dette får du jo (jeg kontrollregnet det for deg), virker som det bare er en liten bit algebra du må se over.

[tex](\sqrt{3})^3 = 3 \sqrt{3}[/tex]

Men det er nok ikke helt riktig at alle punktene er stasjonære, fordi du får motsatt fortegn på to av dem.

[ZizouJR]

Jeg får at (0,0) er sadelpunkt og ( [symbol:rot] 3, [symbol:rot] 3) og (- [symbol:rot] 3,- [symbol:rot] 3) er lokale minimumspunkter

kan det stemme?