Vise at (d^2/dx^2) er en hermitesk operator

[Nova]

Hei! Jeg skal vise at [tex]\frac{d^2}{dx^2}[/tex] er en hermitesk operator. Altså at:

[tex]\int{\Psi^*_i\hat{\Omega}\Psi_j dx} = (\int{\Psi^*_j\hat{\Omega}\Psi_idx})^*[/tex]

I dette tilfellet er
[tex]\hat{\Omega} = \frac{d^2}{dx^2}[/tex]

Så setter inn i integralet til venstre:
[tex]\int{\Psi^*_i\frac{d^2}{dx^2}\Psi_jdx}[/tex]

Bruker delvis integrasjon for å løse dette:
[tex]\int{\Psi^*_i\frac{d^2}{dx^2}\Psi_jdx} = \Psi^*_i\frac{d}{dx}\Psi_j - \int{\frac{d}{dx}\Psi_j \frac{d}{dx}\Psi^*_i}dx[/tex]

Bruker delvis integrasjon igjen for å løse integralet til høyre:

[tex]\int{\frac{d}{dx}\Psi_j \frac{d}{dx}\Psi^*_i} = \frac{d}{dx}\Psi_j\Psi^*_i - \int{\Psi^*_i \frac{d^2}{dx^2}\Psi_j dx}[/tex]

Setter dette inn i totaluttrykket:

[tex]\int{\Psi^*_i\frac{d^2}{dx^2}\Psi_jdx} = \Psi^*_i\frac{d}{dx}\Psi_j - (\frac{d}{dx}\Psi_j\Psi^*_i - \int{\Psi^*_i \frac{d^2}{dx^2}\Psi_j dx})[/tex]

[tex]\int{\Psi^*_i\frac{d^2}{dx^2}\Psi_jdx} = \Psi^*_i\frac{d}{dx}\Psi_j - \frac{d}{dx}\Psi_j\Psi^*_i + \int{\Psi^*_i \frac{d^2}{dx^2}\Psi_j dx}[/tex]

De første to leddene kan strykes mot hverandre, og vi står igjen med:
[tex]\int{\Psi^*_i\frac{d^2}{dx^2}\Psi_jdx} = \int{\Psi^*_i \frac{d^2}{dx^2}\Psi_j dx} = (\int{\Psi_i \frac{d^2}{dx^2}\Psi^*_j dx})^*[/tex]

Og så var det vel strengt talt ikke dette jeg skulle vise.. Eller? Er det noe jeg ikke ser her?

Mulig jeg har gjort noe feil i integrasjonen, men etter mange gjennomtittinger har jeg likevel ikke funnet noen.. Hjelp?

[Gustav]

Den andre gangen du bruker delvis integrasjon gjør du det "motsatt" av hva du egentlig skal gjøre slik at du går tilbake til utgangspunktet igjen.

[Gustav]

Altså her

Bruker delvis integrasjon igjen for å løse integralet til høyre:

[tex]\int{\frac{d}{dx}\Psi_j \frac{d}{dx}\Psi^*_i} = \frac{d}{dx}\Psi_j\Psi^*_i - \int{\Psi^*_i \frac{d^2}{dx^2}\Psi_j dx}[/tex]

Det skal vel være

[tex]\int{\frac{d}{dx}\Psi_j \frac{d}{dx}\Psi^*_i} = \Psi_j \frac{d}{dx}\Psi^*_i - \int{\Psi_j\frac{d^2}{dx^2}\Psi^*_i dx}[/tex]

For å kvitte deg med leddene som ikke er integraler må du vel sikkert bruke noen grensebetingelser. (f.eks. at bølgefunksjonene eller dens deriverte er 0 i endepunktene)

[Nova]

Hmmm.. Skjønner ikke..

Bruker denne formelen for delvis integrasjon:
[tex]\int{f\frac{dg}{dx}dx} = fg - \int{g\frac{df}{dx}dx}[/tex]

Så i uttrykket:

[tex]\int{\frac{d}{dx}\Psi_j \frac{d}{dx}\Psi^*_i}[/tex]

er jo
[tex]f = \frac{d}{dx}\Psi_j[/tex] og [tex]\frac{dg}{dx}=\frac{d}{dx}\Psi^*_i[/tex]

Videre blir det:
[tex]\frac{df}{dx}=\frac{d^2}{dx^2}\Psi_j[/tex] og [tex]g = \Psi^*_i [/tex]

Setter dette inn i uttrykket:
[tex]\int{\frac{d}{dx}\Psi_j \frac{d}{dx}\Psi^*_i} = \frac{d}{dx}\Psi_j\Psi^*_i - \int{\Psi^*_i \frac{d^2}{dx^2}\Psi_j}[/tex]

Hvorfor blir det ikke riktig å gjøre det sånn?

[Gustav]

Jeg sier ikke at de utregningene du har gjort er feilaktig utført. Problemet er at de ikke leder til noe annet enn det du allerede vet.

Er du enig i at dersom du skal bruke delvis integrasjon på integralet

[tex]\int f^,g^,dx[/tex], så er det 2 måter å gjøre det på:

1. [tex]\int f^,g^,dx=[f^,g]-\int f^{,,}gdx[/tex]

2. [tex]\int f^,g^,dx=[fg^,]-\int fg^{,,}dx[/tex] ?

Begge disse omskrivningene er "lov".

[Nova]

Joo, det høres jo ikke så dumt ut! Så jeg kan på en måte velge hvilket av leddene som skal være f og g, så lenge jeg "behandler" dem som i regelen?

[Gustav]

Joo, det høres jo ikke så dumt ut! Så jeg kan på en måte velge hvilket av leddene som skal være f og g, så lenge jeg "behandler" dem som i regelen?

Ja

[Nova]

Takk for hjelpa!