Her lurer jeg virkelig på hva jeg skal gjøre.Find [tex]u(x,t)[/tex] for the string of length [tex]L=1[/tex] and
[tex]c^2=1[/tex] when the initial velocity is zero and the initial deflection with small k (say, 0.01) is as follows. Sketch or graph as in
Fig. 291 in the text.
[tex]k \sin(3\pi x)[/tex]
Tenkte først at en skulle benytte seg av bølgelikningen som har løsning
[tex]u(x,y) = \sum_{n=1}^\infty A_n \cos \lambda_n t + B_n \sin \lambda_n t \sin \frac{n \pi}{L} x\,,[/tex]
hvor [tex]\lambda cn\pi/L[/tex] og
[tex]A_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin \frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x[/tex]
og
[tex]B_n = \frac{2}{cn\pi} \int_0^L g(x) \sin \frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x[/tex]
I oppgaven vår så er hastigheten i begynnelsen null, slik at [tex]g(x)=0[/tex].
Videre fås
[tex]\begin{align} A_n = & \frac{2}{L} \int_0^L k \sin(3\pi x) \sin \frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x \\ = & \frac{k}{L} \int_0^L \cos(3\pi x-\frac{n\pi x}{L}) - \cos(3\pi x+\frac{n\pi x}{L}) \,\mathrm{d}x \\ = & \frac{k}{L} \left[ \frac{L}{\pi(3L-n)}\sin(3\pi x-\frac{n\pi x}{L}) - \frac{L}{\pi(3L+n)}\sin(3\pi x+\frac{n\pi x}{L})\right]_0^L \\ = & \frac{k}{\pi}\left[ \frac{\sin(\pi(3L-n))}{3L-n} - \frac{\sin(\pi(3L+n))}{3L+n} \right] \\ = & 0 \end{align} [/tex]
Men dette blir jo feil, hva er det jeg egentlig skal gjøre på oppgaven?
