Moduler og endomorfismer

[wingeer]

Hei,
Jeg leser om moduler og ser at det finnes to forskjellige definisjoner på disse.
La R være en ring, G en additiv abelsk gruppe og en avbildning
[tex]m:RxG \to G[/tex]
[tex]m(r,g)=rg[/tex] for alle r i R og alle g i G, som tilfredstiller følgende:
1. [tex]m(r,g_1+g_2)=m(r,g_1)+m(r,g_2)[/tex]
2. [tex]m(r_1+r_2,g)=m(r_1,g)+m(r_2,g)[/tex]
3. [tex]m(r_1,m(r_2,g_1))=m(r_1r_2,g_1)[/tex]
4. [tex]1g=g[/tex]
Da er G en venstre R-modul.

Slik jeg har forstått det er disse egenskapene vi snakker om i bildet til m (G).
Så sies det at ringhomomorfien:
[tex]\Phi : R \to Hom(G,G)[/tex] induserer en avbildning:
[tex]m:RxG \to G[/tex]
[tex]m(r,g)=\Phi(r)g[/tex] for alle r i R og alle g i G, og at da denne avbildningen gir G en R-modul-struktur.
Jeg tenkte jeg da skulle sjekke for meg selv at dette stemte, så jeg begynner da med 1.
[tex]m(r,g_1+g_2)=\Phi(r_1+r_2)g = (\Phi(r_1)+\Phi(r_2))g = \Phi(r_1)g + \Phi(r_2)g = m(r_1,g)+m(r_2,g)[/tex]
Her bruker vi at phi er en ringhomomorfi, som vi også gjør for 3:
[tex]m(r_1,m(r_2,g))=\Phi(r_1)\Phi(r_2)g_1 = \Phi(r_1r_2)g_1 = m(r_1r_2,g)[/tex]
4 følger også av at phi er en ringhomomorfi (per def.) [tex]\Phi(1)=1[/tex]?
2 er jeg derimot usikker på.
[tex]m(r_1,g_1+g_2)=\Phi(r_1)(g_1+g_2)[/tex]
Og her blir jeg usikker på hvordan jeg skal komme meg videre.
Jeg er også litt usikker på hvor jeg jobber med disse. Bildet til phi ligger jo endomorfismeringen til G, så har vi m som kjører oss inn i G. Jeg blir svimmel av alle domenene og bildene. Noen som har lyst til å oppklare litt?
Takk.

[wingeer]

Ingen?

[Charlatan]

[tex]\Phi(r)[/tex] er en homomorfi fra G til G for enhver r, det kommer ikke helt fram av det du skriver at du betrakter den som en homomorfi. Hom(G,G) er en ring av homomorfier av abelske grupper.

En "multiplikasjon" av to homomorfier blir her sammensetningen av dem.

Dvs at [tex]\Phi(rs) = \Phi(r) \circ \Phi(s)[/tex].

1,2,3: Du trenger bare å bruke at [tex]\Phi(r)[/tex] er en homomorfi av abelske grupper for å vise disse.

For 4: Hva er identiteten i ringen Hom(G,G)? Husk at det du skal fram til er en homomorfi [tex]e : G \to G[/tex]. Deretter kan du bruke at en ringhomomorfi sender identiteten på identiteten, og dermed bevise 4.

[wingeer]

Takk for svar.
Jeg trodde det kom tydelig frem. Mener jeg skrev at det var en homomorfi.

Jeg ser ikke hvordan 2 følger. Jeg kommer frem til:
[tex]\Phi(r)(g_1+g_2)[/tex] og der stopper det. [tex]\Phi(r)[/tex] er vel i Hom(G,G) (og derfor en homomorfi for alle valg av r), imens g-ene er i G. Betyr dette at vi her da har et produkt mellom to grupper? Hvordan kan jeg slutte at da er [tex]\Phi(r)g_1 + \Phi(r)g_2[/tex]?
Identiteten i Hom(G,G) må vel være den homomorfismen som sender alle elementene til identitetselementet i G? Bruker en da at resten av elementene kan skrives som en sum av identitetselementet for å fullføre beviset?

[Charlatan]

At [tex]\Phi(r)(g_1+g_2) = \Phi(r)(g_1)+\Phi(r)(g_2)[/tex] følger jo av at [tex]\Phi(r)[/tex] er en gruppehomomorfi.

Det er ikke snakk om et produkt her mellom elementer i G.

Identiteten i Hom(G,G) må vel være den homomorfismen som sender alle elementene til identitetselementet i G?

Jeg skulle ha ordlagt meg annerledes og sagt enheten i stedet for identiteten, blandet litt. 1 er enheten i ringen R. Enheten sendes via [tex]\Phi[/tex] på enheten i ringen Hom(G,G), dvs [tex]\Phi(1)[/tex]. Hva er enheten i Hom(G,G)?

Man må holde tungen rett i munnen her: [tex]\Phi[/tex] er en ringhomomorfi mellom ringene R og Hom(G,G). [tex]\Phi(r)[/tex] er en gruppehomomorfi mellom G og G.

[wingeer]

Det er sikkert veldig åpenbart, men jeg ser ikke hvordan det følger. Kan du utdype det litt mer?

Litt usikker, men blir det homomorfien som sender alle elementer til seg selv?

Fint at du påpekte forskjellen mellom phi og phi(r). Det gjør det litt tydeligere.

[Charlatan]

[tex]\Phi(r)[/tex] er et element i Hom(G,G) og er dermed en gruppehomomorfi fra G til G. Men du kjenner jo egenskapene til gruppehomomorfier, f.eks at de er additive.

Husk at [tex]g_1+g_2[/tex] er argumentet i homomorfien [tex]\Phi(r)[/tex] når du skal vise 1.

Stemmer det, enheten i Hom(G,G) er identitetshomomorfien, dvs homomorfien som sender alle elementer til seg selv. Hvis vi kaller denne homomorfien e, så er dette fordi [tex]e \circ \phi = \phi \circ e = \phi[/tex] for alle homomorfier [tex]\phi[/tex] i Hom(G,G).

For å utvide litt: Homomorfien du nevnte som sender alle elementer til identiteten i G er nullelementet i ringen Hom(G,G).

[wingeer]

Så fordi Hom(G,G) er en ring og dermed er distributiv så følger det at:
[tex]\Phi(r)(g_1+g_2) = \Phi(r)g_1 + \Phi(r)g_2[/tex] siden det kun er elementer i Hom(G,G)? Eller har jeg misforstått?
1 er ikke noe problem, det er jo kun fordi Phi er en homomorfi. Jeg ser bare ikke distributiviteten i 2. Er det fordi vi ser på elementer i en ring? I så fall er det jo enkelt og greit, men hvilken ring er dette?

Hvordan hjelper dette for å vise 4, egentlig? Hvor kommer Phi inn?

Okey, så det er den additive identiteten (nullelementet)?
(Vet ikke om jeg er mer eller mindre forvirret nå enn før. Men tusen takk for at du tar deg tid til dette. Setter veldig pris på det!)

[Charlatan]

Så fordi Hom(G,G) er en ring og dermed er distributiv så følger det at:
[tex]\Phi(r)(g_1+g_2) = \Phi(r)g_1 + \Phi(r)g_2[/tex] siden det kun er elementer i Hom(G,G)? Eller har jeg misforstått?

Nei, det følger av at [tex]\Phi(r)[/tex] er en gruppehomomorfi fra G til G, dvs et element av Hom(G,G).

1 er ikke noe problem, det er jo kun fordi Phi er en homomorfi. Jeg ser bare ikke distributiviteten i 2. Er det fordi vi ser på elementer i en ring? I så fall er det jo enkelt og greit, men hvilken ring er dette?

1. følger fordi \Phi(r) er en gruppehomomorfi, ikke fordi \Phi er en ringhomomorfi.

Hvordan hjelper dette for å vise 4, egentlig? Hvor kommer Phi inn?

\Phi er en ringhomomorfi, så siden 1 er enheten i ringen R, er \Phi(1) enheten i ringen Hom(G,G) (ikke additiv identitetselement), dvs gruppehomomorfien som sender ethvert element til seg selv.

[wingeer]

Jeg tror jeg har snakket forbi deg hele tiden. Jeg har alltid hatt et mentalt bilde av hvilken rekkefølge disse "kravene" var i. Så viser det seg at jeg i denne tråden har stokket litt om på 1 og 2. Ikke rart det har blitt mer forvirrende enn det nødvendig.
I denne tråden er det selvfølgelig slik at 2. følger av at [tex]\Phi[/tex] er en ringhomomorfi, det samme med 3.
Det er derimot 1 jeg har trøbbel med å forstå. Det er slik at [tex]\Phi(r)[/tex] er en gruppehomomorfi fra G til G.

Okey. Tror det begynner å demre litt for meg nå.

[wingeer]

Igjen, takk for hjelpen. Jeg forstår mye bedre hvordan det henger sammen nå, og forstår hvordan 1 vises. Som du sier så er g_1+g_2 argumentet til phi(r). Og da følger det jo siden phi(r) er en gruppehomomorfi og derfor er lineær. Notasjonen som har spilt meg et puss her.
Prøver meg da på 4:
[tex]1 \cdot g = g[/tex] betyr her da at vi må se på identitetselementet i Hom(G,G). Det vet vi er homomorfien som sender ethvert element til seg selv. Dette er det samme som å si at:
[tex]\Phi(1)(g)=g[/tex] og vi har 4.