Konvergens og differenslikning.

[mariush]

Hei!

Ny oppgave, nye mentale sperrer.

Oppgaven er: Finn grenseverdien til a_n når a_n+1 = a_n/2 + 1, og a_0 =0.

Jeg tenker følgende; hvis A er en grenseverdi til a_n når n går mot uendelig, må A også være grenseverdi til a_n+1 siden n går mot uendelig.

Da får jeg likningen A=A/2 +1, altså A=2. Dette ser ut til å stemme, men jeg føler det er noe som mangler. Jeg har jo fortsatt ikke bevist at a_n har en grenseverdi, kun at den eventuelle grenseverdien er 2.

Jeg vet ikke helt hvordan jeg kunne brukt definisjonen på konvergens på differenslikningen, og klarer ikke finne et uttrykk for a_n.


Noen tips?

[drgz]

Hvis du setter inn for n = 1, 2, 3, osv så vil du se at

[tex]a_n = \frac{2^n-1}{2^{n-1}}[/tex].

Denne bør være grei å finne grenseverdien til

[mariush]

Omformulerer meg:


Finn [tex] \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n+1} = \frac{a_n}{2} +1[/tex] når [tex]a_0=1[/tex]

[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n+1} = \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a[/tex]

[tex] a = \frac{a}{2} +1[/tex], som gir a=2.

Grenseverdien er altså to, men jeg har jo fortsatt ikke vist at grenseverdien eksisterer?

[FredrikM]

Vis først ved induksjon at [tex]a_n \leq 2[/tex], og vis så ved induksjon at [tex]a_{k+1} \geq a_k[/tex].

En monoton, begrenset følge konvergerer alltid.

[Gustav]

Det er to ulike måter å løse denne oppgaven på. Som claudeShannon sier kan man ut fra differensligningen finne et uttrykk for det n-te leddet i følgen, og deretter finne grenseverdien ut ifra dette uttrykket.

Den andre løsningen, som Fredrik påpeker, bygger på et teorem (Det monotone konvergensteoremet: http://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_c ... ce_theorem ) som sier at dersom en reell følge er monotont økende(minkende) og oppad(nedad) begrenset, vil følgen konvergere. Kan du vise disse to egenskapene vil du kunne finne hvilket tall følgen konvergerer mot slik du allerede har gjort.