Iterated exponentiation, tetration

[wingeer]

Hallo!
Trenger litt hjelp med en oppgave jeg har fått på en øving. Den lyder så her:
[tex]x^x^x^{...}=a[/tex] a>0. Likningen skal løses. Jeg vet liksom ikke helt hvor jeg skal starte. Om noen kunne gitt et lite hint ville det vært flott.

[Charlatan]

Hvis vi denoterer [tex]x^x^x^{..._n \ _^x} =x^{[n]}[/tex], altså x eksponert med seg selv n ganger, er den rimeligste tolkningen av oppgaven at vi skal finne x slik at [tex]\lim_{n \to \infty} x^{[n]} = a[/tex].

Se nå på grensene [tex]\lim_{n \to \infty} \log(x^{[n]})[/tex], og [tex]\log(\lim_{n \to \infty} x^{[n]})[/tex].

Ved å deretter bruke at [tex]\lim_{n \to \infty} x^{[n]} = a[/tex], hva kan du si om x?

[wingeer]

Mulig dette ble litt vanskelig å se for seg for min del. Jeg stopper ihvertfall opp ved grensene.
Vil ikke logaritmen til et tall, forskjellig fra 1, opphøyd i seg selv n ganger, der n går mot uendelig, sakte men sikkert gå mot uendelig?

[Charlatan]

Mulig dette ble litt vanskelig å se for seg for min del. Jeg stopper ihvertfall opp ved grensene.
Vil ikke logaritmen til et tall, forskjellig fra 1, opphøyd i seg selv n ganger, der n går mot uendelig, sakte men sikkert gå mot uendelig?

Ikke nødvendigvis, og det er det oppgaven antar i utgangspunktet. Man kan vise at f.eks [tex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{...}}[/tex] har en endelig grense. Uansett, hvis du antar at grensen går mot [tex]a[/tex], prøv å se hva du kan si om x.

[wingeer]

Vel, det første som slår meg inn er at det må være et intervall hvor x konvergerer. Jeg tenker intuitivt [tex]0<x<\sqrt{2}[/tex], uten at jeg nødvendigvis skjønner helt hvorfor.

[Charlatan]

Intervallet finnes, men det er ikke hva oppgaven spør etter.

[wingeer]

Spør ikke oppgaven om hvilke x-verdier som gjør at dette "tårnet" konvergerer mot et tall?

[Gustav]

Spør ikke oppgaven om hvilke x-verdier som gjør at dette "tårnet" konvergerer mot et tall?

Jeg tolker oppgaven slik: Gitt at x^x^x... konvergerer mot a, finn et uttrykk for x.

[wingeer]

Ja, jeg skjønner. Så det er altså ikke et bestemt tall/intervall jeg er ute etter.
Ved å sette [tex]y=\lim_{n \to \infty}x^{[n]}=a \to lny=ln(\lim_{n \to \infty}x^{[n]})=lna[/tex]. Der stopper jeg opp.
Angående den andre grenseverdien, [tex]\lim_{n \to \infty}(lnx^{[n]})[/tex]. Ved å bruke regler for logaritmer får jeg [tex]\lim_{n \to \infty}[n](lnx) \to lnx\lim_{n \to \infty} [n][/tex].
Men er ikke [tex]\lim_{n \to \infty} [n]=a[/tex]?

[Charlatan]

Ja, jeg skjønner. Så det er altså ikke et bestemt tall/intervall jeg er ute etter.
Ved å sette [tex]y=\lim_{n \to \infty}x^{[n]}=a \to lny=ln(\lim_{n \to \infty}x^{[n]})=lna[/tex]. Der stopper jeg opp.
Angående den andre grenseverdien, [tex]\lim_{n \to \infty}(lnx^{[n]})[/tex]. Ved å bruke regler for logaritmer får jeg [tex]\lim_{n \to \infty}[n](lnx) \to lnx\lim_{n \to \infty} [n][/tex].
Men er ikke [tex]\lim_{n \to \infty} [n]=a[/tex]?

Jeg antar du mener [tex]x^{[n]}[/tex], og ikke [tex][n][/tex]. Det stemmer forsåvidt, bare at du må huske på at tårnet ikke er like høyt etter du tok logaritmen, dvs [tex]\log x^{[n]} = x^{[n-1]} \log x[/tex]. Du er like rundt hjørnet i hvert fall.

[wingeer]

Det er klart det er det jeg mener. Jeg var også litt usikker på det med n-1.
Jeg lurer bare litt på hvor du utledet den grenseverdien fra?

[Charlatan]

Jeg lurer bare litt på hvor du utledet den grenseverdien fra?

Er ikke helt med her, hvilken grenseverdi er det du mener?

[wingeer]

Denne: [tex]\lim_{n \to \infty}(lnx^{[n]})[/tex].

[Charlatan]

Denne: [tex]\lim_{n \to \infty}(lnx^{[n]})[/tex].

Jeg forstår ikke hva du mener med at jeg har utledet den. Jeg foreslår bare at du finner den og den tilsvarende grenseverdien for å finne verdien til x.

[wingeer]

Vel. Et sted må den vel komme fra? Hehe.
Jeg ser hvordan en kan komme frem til [tex]ln(\lim_{n \to \infty} x^{[n]})[/tex] utifra at [tex]\lim_{n \to \infty} x^{[n]} = a[/tex]. Jeg ser derimot ikke hvordan en kommer frem det andre uttrykket, eller hva det skal være lik.
Så langt har jeg at [tex]lnx(\lim_{n \to \infty} x^{[n-1]})[/tex], men ikke hva det er lik.
Jeg har også at [tex]ln(\lim_{n \to \infty} x^{[n]})=lna[/tex].
Jeg fikk inntrykk av at jeg var på rett vei?