Induksjonsbevis

[chrypton1]

Ikke særlig vanskelig, men men:

Vis at:

[tex](1)(1!)+(2)(2!)+(3)(3!)+...+(n)(n!)=(n+1)!-1\ \ \ \ \forall n\in \mathbb{Z}^+[/tex]

[Markonan]

Hypotesen:
[tex](1)(1!) + \dots + (n+1)(n+1)! = (n+2)! - 1[/tex]

Vi sjekker at det stemmer for noen verdier:
n=1
[tex](1)(1!) = 1[/tex]
[tex](2!)-1 = 1[/tex]

n=2
[tex](1)(1!) + (2)(2!) = 1 + 4 = 5[/tex]
[tex](3!)-1 = 5[/tex]

Vi antar derfor det stemmer for n tall:
[tex](1)(1!) + (2)(2!) + \dots + (n)(n!) = (n+1)! - 1[/tex]

Vi sjekker nå om det stemmer for n+1.
[tex](1)(1!) + (2)(2!) + \dots + (n)(n!) + (n+1)(n+1)![/tex]

Ved induksjonshypotesen er dette det samme som:
[tex](n+1)! - 1 + (n+1)(n+1)![/tex]

[tex](n+1)! - 1 + n(n+1)! + (n+1)![/tex]

[tex]n(n+1)! + 2(n+1)! -1[/tex]

[tex](n+1)!(n+2) - 1[/tex]

[tex](n+2)! - 1[/tex]

Og vips, QED.

[Karl_Erik]

Alternativt, men mer eller mindre tilsvarende:

Skriv [tex]i \cdot i! = (i+1)! - i![/tex], stryk like ledd mot hverandre og stå igjen med høyresiden.

[chrypton1]

Beviste det(mer eller mindre) samme som Markonan, bare at jeg brukte rekkenotasjon. Men mener du ikke at hypotesen din heller skal være "...(n+1)!-1" enn "...(n+2)!-1", for sistnevte blir jo feil.

Likte den Karl_Erik . Men beviser man det ikke bare for i og ikke alle positive hele tall?

[chrypton1]

Her er altså bevise mitt(tar ikke med basecase)

Hypotesen:
[tex]\sum_{n=1}^{n} nn! = (n+1)!-1[/tex]

for n+1:

[tex]\sum_{n=1}^{n+1} (n+1)(n+1)! = \sum_{n=1}^{n} nn! + (n+1)(n+1)![/tex]

[tex]= (n+1)!-1+(n+1)(n+1)![/tex]
[tex]= (n+1)!+(n+1)!(n+1)-1[/tex]
[tex]= (n+1)!(1+(n+1))-1[/tex]
[tex]= (n+1)!((n+1)+1)-1[/tex]
[tex]= ((n+1)+1)!-1[/tex]

[Markonan]

Beviste det(mer eller mindre) samme som Markonan, bare at jeg brukte rekkenotasjon. Men mener du ikke at hypotesen din heller skal være "...(n+1)!-1" enn "...(n+2)!-1", for sistnevte blir jo feil.

Det er jo helt samme fremgangsmåte da, selv om det ikke er i overensstemmelse med den gitte hypotesen.

Fikk illustrert idéen, selv om det ikke er sånn jeg hadde ført oppgaven på en eksamen.

[chrypton1]

Beviste det(mer eller mindre) samme som Markonan, bare at jeg brukte rekkenotasjon. Men mener du ikke at hypotesen din heller skal være "...(n+1)!-1" enn "...(n+2)!-1", for sistnevte blir jo feil.

Det er jo helt samme fremgangsmåte da, selv om det ikke er i overensstemmelse med den gitte hypotesen.

Fikk illustrert idéen, selv om det ikke er sånn jeg hadde ført oppgaven på en eksamen.

skjønner.