matematikk.net

Caroline bestemmer seg også for å sette inn penger på en bankkonto ved starten av hvert år fra og med 2005 til og med 2017, altså 13 ganger. Det første beløpet (i 2005) er på 5000 kr, men deretter øker hun beløpet slik at hvert beløp er 10% større enn beløpet året før. Renten er hele tiden 4 %.
Hvor mye har hun på kontoen rett etter at det siste beløpet er satt inn? (fasit: 148 933 kr)

La K[sub]n[/sub] være kronebeløpet Caroline har på bankkontoen i år n umiddelbart etter hun har gjort det årlige innskuddet. Da er

[tex]K_{2004} \;=\; 0,[/tex]

[tex]K_{2005} \;=\; 5000,[/tex]

[tex]K_{2006} \;=\; 1,04 K_{2005} \:+\: 5000 \cdot 1,1,[/tex]

[tex]K_{2007} \;=\; 1,04 K_{2006} \:+\: 5000 \cdot 1,1^2,[/tex]

og generelt

(1)[tex] \;\; K_n \;=\; 1,04 K_{n-1} \;+\; 5000 \cdot 1,1^{n - 2005}[/tex]

for alle [tex]2005 \leq n \leq 2017.[/tex] Ved å dele (1) med 1,04[sup]n[/sup], blir resultatet:

[tex]\frac{K_n}{1,04^n} \;=\; \frac{K_{n-1}}{1,04^{n-1}} \;+\; 5000 \, \frac{1,1^{n - 2005}}{1,04^n}[/tex]

[tex]\sum_{n=2005}^{2017} \frac{K_n}{1,04^n} \;=\; \sum_{n=2005}^{2017}\frac{K_{n-1}}{1,04^{n-1}} \;+\; 5000 \, \frac{1,1^{n - 2005}}{1,04^n}[/tex]

[tex]\sum_{n=2005}^{2017} \frac{K_n}{1,04^n} \;=\; \sum_{n=2004}^{2016}\frac{K_n}{1,04^n} \;+\; 5000 \sum_{n=2005}^{2017}\, \frac{1,1^{n - 2005}}{1,04^n}[/tex]

[tex]\frac{K_{2017}}{1,04^{2017}} \;=\; 5000 \sum_{n=2005}^{2017}\, \frac{1,1^{n - 2005}}{1,04^n}[/tex]

[tex]K_{2017} \;=\; 5000 \cdot 1,04^{12} \: \sum_{n=2005}^{2017}\, \Big( \frac{1,1}{1,04} \Big) ^{n - 2005}[/tex]

[tex]K_{2017} \;=\; 5000 \cdot 1,04^{12} \: \sum_{k=0}^{12}\, \Big( \frac{1,1}{1,04} \Big) ^k[/tex]

[tex]K_{2017} \;=\; 5000 \cdot 1,04^{12} \; \frac{{\textstyle \Big(\frac{1,1}{1,04}\Big)^{13} \:-\: 1}}{{\textstyle \frac{1,1}{1,04} \:-\: 1}}[/tex]

[tex]K_{2017} \;=\; 5000 \; \frac{1,1^{13} \:-\: 1,04^{13}}{1,1 \:-\: 1,04}[/tex]

[tex]K_{2017} \;=\; \frac{5000}{0,06} \; (1,1^{13} \:-\: 1,04^{13})[/tex]


[tex]K_{2017} \; \approx \; 148933.[/tex]