fortegnslinje
Lagt inn: 21/03-2004 13:46
Hei...
Skjønner ikke helt det med fortegnslinje, kan noen forklare meg det?
Skjønner ikke helt det med fortegnslinje, kan noen forklare meg det?
matematikk.net
Matteprat
https://www.matematikk.net/matteprat/
fortegnslinje
https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=749
Side 1 av 1
Lagt inn: 21/03-2004 16:00
Hvis vi skal tegne linjen for f.eks. (x-3) i et fortegnsskjema, må vi først tenke oss hvilken verdi av x som gjør dette uttrykket til 0. Vi ser her at verdien blir 3, altså endrer dette uttrykket fortegn ved verdien 3. Setter vi inn verdier mindre enn 3 f.eks. 2, blir jo svaret -1, altså er dette uttrykket negativt (stiplet linje). Setter vi derimot inn verdier større enn 3, f.eks. 5, blir jo svaret positivt (hel linje). Vi kan ut ifra dette trekke konklusjonen at alle x-verdier lavere enn 3 gir stiplet linje, og alle verdier større enn 3 gir hel linje. Har vi et uttrykk (x-3)(x+2) kan vi i et fortegnsskjema finne ut for hvilke verdier av x produktet av dette uttrykket blir positivt eller negativt. Da setter vi inn de to faktorene (x-3) og (x+2) inn på hver sin linje i skjemaet, og tegner linjene slik de blir. Så kan vi "multiplisere" linjene som kommer ovenfor hverandre ved å bruke fortegnsreglene. Kommer f.eks. to stiplede linjer ovenfor hverandre i et intervall kan du bare tenke at to negative tall ganget med hverandre gir et positivt resultat, altså blir resultatet av uttrykket vi startet med positivt hvis vi setter inn x-verdier i dette intervallet. På den tredje linjen i skjemaet skriver vi (x-3)(x+2), og her tegner vi inn "resultatet" av linjene over i ulike intervaller. Skulle gjerne tegnet et skjema her ettersom det er litt vanskelig å forklare. Spør hvis noe er uklart!
Lagt inn: 22/03-2004 10:20
Jeg tror jeg skjønte det.......skal prøve med noen oppgaver av dem......takk skal du ha:-)
Lagt inn: 10/10-2011 14:24
Men jeg lurer på en ting,
Etter fortegnslinja, vil somregel fasitt ha et svar som:
(Tatt ut ifra det blå..)
[tex]x \in \langle \leftarrow , -0,41] \quad \cup \quad [2.41, \quad 4][/tex]
Men her trur jeg ikke jeg er sikker på allt..
[tex]\in[/tex] betyr alle verdier innenfor ? (eller noe slikt?)
[tex]\langle[/tex] = fra og med
[tex]\rangle[/tex] = til og med
] = til
[tex]\cup[/tex] = og (samme som [tex]\vee[/tex])
[ = fra
Stemmer dette?
Og hvordan ser man på fortegns linja hva man skal skrive etter [tex]x \in [/tex]?
Har googlet rundt, men dette er så basic, at jeg vet ikke om det er skrevet noe sted
Etter fortegnslinja, vil somregel fasitt ha et svar som:
(Tatt ut ifra det blå..)
[tex]x \in \langle \leftarrow , -0,41] \quad \cup \quad [2.41, \quad 4][/tex]
Men her trur jeg ikke jeg er sikker på allt..
[tex]\in[/tex] betyr alle verdier innenfor ? (eller noe slikt?)
[tex]\langle[/tex] = fra og med
[tex]\rangle[/tex] = til og med
] = til
[tex]\cup[/tex] = og (samme som [tex]\vee[/tex])
[ = fra
Stemmer dette?
Og hvordan ser man på fortegns linja hva man skal skrive etter [tex]x \in [/tex]?
Har googlet rundt, men dette er så basic, at jeg vet ikke om det er skrevet noe sted
Lagt inn: 10/10-2011 18:21
Nå har du misforstått litt, og ja dette er veldig basic. Men desto viktigere er det å få inn skikkelig. kjenner mange som sliter med dette med fortegnslinjer.
De vet ikke helt hvorfor vi bruker det, og de vet heller ikke hvordan en skal bruke det.
La oss bare ta noe helt generelt først.
La oss si at vi har en rasjonal funksjon og denne kan skrives som
[tex]\frac{P(x)}{G(x)}[/tex]
Der P og G er polynomer.
Dersom P og G begge to er positive, så er funksjonen vår positiv. Dersom P og G er negative, er funksjonen vår også positiv.
Og om P og G har motsatte fortegn er funksjonen vår negativ.
Det er nettop dette vi ser på i et fortegnsskjema. For eksempel i uttrykket under.
"Fun fact, funksjonen over er skrevet i latex ved hjelp av en pakke/skript som ble skrevet til meg. Av noen smarte latex guruer."
I uttrykket over har vi skrevet opp når teller er positiv og negativ, og det samme for nevner. Vi bare legger sammen linjene nedover, og skriver opp sluttresultatet vår på siste linje.
For eksempel blir to blå linjer til en rød linje. To røde linjer blir til en rød linje, og to linjer med motsatte farger, blir til en blå linje. Dette kommer jo av det jeg skrev tidligere. Negativ og negativ blir positiv, positiv og positiv blir positiv, og forskjellige blir negative.
Notasjonen på hvordan en skal skrive svaret varier voldsomt. Men prinsippet er det samme. Vi må tenke på om endepunktene er definert. Definert betyr at vi kan putte inn endepunktet inn i funksjonen og få ut noe som gir mening.
La oss si vi vil løse ulikheten
[tex]\frac{x-1}{x+1}>0[/tex]
Det er ikke noe fasitsvar på hvordan en skal skrive svaret, men under viser jeg et par metoder en kan skrive svaret på. som alle sammen er rett.
[tex]x<-1 \quad \vee \qquad x>1[/tex]
[tex]x\in <\infty, -1 > \; \cup \; <1,\infty>[/tex]
[tex]x \in (\infty , -1) \; \cup \; (1 ,\infty)[/tex]
Grunnen til at vi bruker < er fordi endepunktene våre ikke er definert. Del å dele på null, eller bytte ut grenser med tall blir jo bare tull. Uendelig er jo en grense så å skrive
[tex]\frac{\infty - 1}{\infty + 1}[/tex]
Blir feil på veldig mange plan. Mens endepunktet 1 er definert.
Kan ta ett eller to eksempler til. På uni bruker vi alltid ( ) litt lettere å skrive. Mer rett er det ikke, er bare en definisjon ^^
La [tex]f(x) = (x - \sqrt{5}) \sin(x)[/tex] og [tex]x\in[{0 , \frac{5\pi}{2}}][/tex]
Finn ut når [tex]f(x) \geq 0[/tex]
Tegner fortegnslinje
Tegnene og funksjonene her er ikke så farlig å legge merke til. Det på slutten sier bare at x, skal være innenfor de to endepunktene.
x skal være et element i settet [tex][{0 , \frac{5\pi}{2}}][/tex] der vi inkluderer endepunktene [ og ]
Svaret blir
[tex]x\in[\sqrt{5} , \pi] \; \cup \; [2\pi , \frac{5}{2\pi}][/tex]
Alle endepunktene her er definert.
Håper dette gav mening, spør om det er noe mer du lurer på =)
De vet ikke helt hvorfor vi bruker det, og de vet heller ikke hvordan en skal bruke det.
La oss bare ta noe helt generelt først.
La oss si at vi har en rasjonal funksjon og denne kan skrives som
[tex]\frac{P(x)}{G(x)}[/tex]
Der P og G er polynomer.
Dersom P og G begge to er positive, så er funksjonen vår positiv. Dersom P og G er negative, er funksjonen vår også positiv.
Og om P og G har motsatte fortegn er funksjonen vår negativ.
Det er nettop dette vi ser på i et fortegnsskjema. For eksempel i uttrykket under.
"Fun fact, funksjonen over er skrevet i latex ved hjelp av en pakke/skript som ble skrevet til meg. Av noen smarte latex guruer."
I uttrykket over har vi skrevet opp når teller er positiv og negativ, og det samme for nevner. Vi bare legger sammen linjene nedover, og skriver opp sluttresultatet vår på siste linje.
For eksempel blir to blå linjer til en rød linje. To røde linjer blir til en rød linje, og to linjer med motsatte farger, blir til en blå linje. Dette kommer jo av det jeg skrev tidligere. Negativ og negativ blir positiv, positiv og positiv blir positiv, og forskjellige blir negative.
Notasjonen på hvordan en skal skrive svaret varier voldsomt. Men prinsippet er det samme. Vi må tenke på om endepunktene er definert. Definert betyr at vi kan putte inn endepunktet inn i funksjonen og få ut noe som gir mening.
La oss si vi vil løse ulikheten
[tex]\frac{x-1}{x+1}>0[/tex]
Det er ikke noe fasitsvar på hvordan en skal skrive svaret, men under viser jeg et par metoder en kan skrive svaret på. som alle sammen er rett.
[tex]x<-1 \quad \vee \qquad x>1[/tex]
[tex]x\in <\infty, -1 > \; \cup \; <1,\infty>[/tex]
[tex]x \in (\infty , -1) \; \cup \; (1 ,\infty)[/tex]
Grunnen til at vi bruker < er fordi endepunktene våre ikke er definert. Del å dele på null, eller bytte ut grenser med tall blir jo bare tull. Uendelig er jo en grense så å skrive
[tex]\frac{\infty - 1}{\infty + 1}[/tex]
Blir feil på veldig mange plan. Mens endepunktet 1 er definert.
Kan ta ett eller to eksempler til. På uni bruker vi alltid ( ) litt lettere å skrive. Mer rett er det ikke, er bare en definisjon ^^
La [tex]f(x) = (x - \sqrt{5}) \sin(x)[/tex] og [tex]x\in[{0 , \frac{5\pi}{2}}][/tex]
Finn ut når [tex]f(x) \geq 0[/tex]
Tegner fortegnslinje
Tegnene og funksjonene her er ikke så farlig å legge merke til. Det på slutten sier bare at x, skal være innenfor de to endepunktene.
x skal være et element i settet [tex][{0 , \frac{5\pi}{2}}][/tex] der vi inkluderer endepunktene [ og ]
Svaret blir
[tex]x\in[\sqrt{5} , \pi] \; \cup \; [2\pi , \frac{5}{2\pi}][/tex]
Alle endepunktene her er definert.
Håper dette gav mening, spør om det er noe mer du lurer på =)
Lagt inn: 10/10-2011 20:08
Wow. Takk =)
Men jeg trur ikke jeg forstod helt,
Hvordan ser man at det er
[tex]x\in <\infty, -1 > \; \cup \; <1,\infty>[/tex]
Er det fordi den er positiv der?
Denne [tex]x \in \langle \leftarrow , -0,41] \quad \cup \quad [2.41, \quad 4][/tex] som jeg hentet i fra en fasitt, kommer i fra en oppgave:
[tex]x^{3}-6x^{2}+7x+4=0[/tex]
Polynom divisjon med x=4
abc formel på [tex]x^{2}-2x-1[/tex]
Ender med[tex] x \approx 2,41, x \approx 0,41[/tex] eller [tex]x=4[/tex]
Nå må jeg jokse litt siden jeg ikke har en slik fresh skript, eller ei klarer å skrive det utenfor forumet
(Ikke trykk siter, for det ser ut som et mareritt =) )
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -0,41 \qquad \qquad \qquad 2,41 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 4 \qquad \qquad \qquad [/tex]
__________________|________|_______________|________________ [tex]\rightharpoonup[/tex] x
[tex]\qquad \qquad \qquad \quad \quad \quad \quad \qquad \quad \qquad \quad \quad \quad \quad[/tex] | [tex]\quad \quad \quad \qquad \qquad \qquad[/tex] | [tex]\qquad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad[/tex] |
(x+0,41) ---------------0_________________________________________
(x-2,41) ------------------------------0________________________________
(x-4) [tex]\quad\quad[/tex] ----------------------------------------------------0__________________
(a) [tex]\quad \quad \quad \quad [/tex]-----------------0________0-------------------0___________________
[tex]x^{3}-6x^{2}+7x+4[/tex] kalte jeg bare a.
Her ser det ut til at boka var ute etter det negative i fortegnslinja.
Så når du i ditt eksempel valgte [tex]x\in <\infty, -1 > \; \cup \; <1,\infty>[/tex], og ikke den blå linjen mellom [tex]-1[/tex] og [tex]1[/tex], hva bestemmer det?
Men jeg trur ikke jeg forstod helt,
Hvordan ser man at det er
[tex]x\in <\infty, -1 > \; \cup \; <1,\infty>[/tex]
Er det fordi den er positiv der?
Denne [tex]x \in \langle \leftarrow , -0,41] \quad \cup \quad [2.41, \quad 4][/tex] som jeg hentet i fra en fasitt, kommer i fra en oppgave:
[tex]x^{3}-6x^{2}+7x+4=0[/tex]
Polynom divisjon med x=4
abc formel på [tex]x^{2}-2x-1[/tex]
Ender med[tex] x \approx 2,41, x \approx 0,41[/tex] eller [tex]x=4[/tex]
Nå må jeg jokse litt siden jeg ikke har en slik fresh skript, eller ei klarer å skrive det utenfor forumet
(Ikke trykk siter, for det ser ut som et mareritt =) )[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -0,41 \qquad \qquad \qquad 2,41 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 4 \qquad \qquad \qquad [/tex]
__________________|________|_______________|________________ [tex]\rightharpoonup[/tex] x
[tex]\qquad \qquad \qquad \quad \quad \quad \quad \qquad \quad \qquad \quad \quad \quad \quad[/tex] | [tex]\quad \quad \quad \qquad \qquad \qquad[/tex] | [tex]\qquad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad[/tex] |
(x+0,41) ---------------0_________________________________________
(x-2,41) ------------------------------0________________________________
(x-4) [tex]\quad\quad[/tex] ----------------------------------------------------0__________________
(a) [tex]\quad \quad \quad \quad [/tex]-----------------0________0-------------------0___________________
[tex]x^{3}-6x^{2}+7x+4[/tex] kalte jeg bare a.
Her ser det ut til at boka var ute etter det negative i fortegnslinja.
Så når du i ditt eksempel valgte [tex]x\in <\infty, -1 > \; \cup \; <1,\infty>[/tex], og ikke den blå linjen mellom [tex]-1[/tex] og [tex]1[/tex], hva bestemmer det?
Lagt inn: 10/10-2011 20:19
som oftest står det f(x)>0 eller f(x)<0
Eller du kan i det minste omforme det slik at det står slik.
Står det f(x)>0 leter du etter alle x-verdier som gjør slik at f(x) er større enn null.
Dette er det samme som at f(x) ligger ove x aksen. Og er positiv.
Altså leter vi etter røde linjer (positive linjer)
Står det f(x)<0 leter du etter alle x-verdier som er slik at f(x)<0.
Dette er det samme som at f(x) ligger under x-aksen. Og er negativ.
Altså leter vi etter blå linjer (negative linjer)
Hadde det stått for eksempel
[tex]f(x)\geq0[/tex]
Betyr det å finne alle x, verdier slik at f(x) er lik null, eller større enn null.
Og da inkluderer vi nullpunktene.
funksjonen er jo ikke større enn null, i ett nullpunkt
Altså kan vi ikke ta med nullpunktene når det står f(x)<0 eller f(x)>0
Eller du kan i det minste omforme det slik at det står slik.
Står det f(x)>0 leter du etter alle x-verdier som gjør slik at f(x) er større enn null.
Dette er det samme som at f(x) ligger ove x aksen. Og er positiv.
Altså leter vi etter røde linjer (positive linjer)
Står det f(x)<0 leter du etter alle x-verdier som er slik at f(x)<0.
Dette er det samme som at f(x) ligger under x-aksen. Og er negativ.
Altså leter vi etter blå linjer (negative linjer)
Hadde det stått for eksempel
[tex]f(x)\geq0[/tex]
Betyr det å finne alle x, verdier slik at f(x) er lik null, eller større enn null.
Og da inkluderer vi nullpunktene.
funksjonen er jo ikke større enn null, i ett nullpunkt
Altså kan vi ikke ta med nullpunktene når det står f(x)<0 eller f(x)>0
Lagt inn: 10/10-2011 20:32
Perfekt takk 
Lagt inn: 07/02-2012 12:49
Heyhey, tenkte jeg skulle fyre opp litt liv i denne, framfor å starte opp en ny tråd 
Har lenge hatt en vag form for forståelse ang. fortegnsskjema, så nå er det på tide å få orden i sakene
Ex. (4-3)=1=positiv
Men så ble jeg forvirra:
(x-1)=positiv.
Men er ikke (-2-1)=-3, altså negativ fremtil nullpunktet som er x=1, og etter x=1, positiv?
Eller er det jeg som klusser nå?
Takk for svar[/code]
Har lenge hatt en vag form for forståelse ang. fortegnsskjema, så nå er det på tide å få orden i sakene Som jeg forstår så bytter man ut x i (x-3) med et tall for å finne ut om verdien blir negativ eller positiv i fortegnsskjemaet.InnleggSkrevet: 21/03-2004 16:00 Tittel:
Hvis vi skal tegne linjen for f.eks. (x-3) i et fortegnsskjema, må vi først tenke oss hvilken verdi av x som gjør dette uttrykket til 0. Vi ser her at verdien blir 3, altså endrer dette uttrykket fortegn ved verdien 3. Setter vi inn verdier mindre enn 3 f.eks. 2, blir jo svaret -1, altså er dette uttrykket negativt (stiplet linje). Setter vi derimot inn verdier større enn 3, f.eks. 5, blir jo svaret positivt (hel linje).
Ex. (4-3)=1=positiv
Men så ble jeg forvirra:
(x-1)=positiv.
Men er ikke (-2-1)=-3, altså negativ fremtil nullpunktet som er x=1, og etter x=1, positiv?
Eller er det jeg som klusser nå?
Takk for svar
[/code]Lagt inn: 07/02-2012 12:50
Heyhey, tenkte jeg skulle fyre opp litt liv i denne, framfor å starte opp en ny tråd Har lenge hatt en vag form for forståelse ang. fortegnsskjema, så nå er det på tide å få orden i sakene
Ex. (4-3)=1=positiv
Men så ble jeg forvirra:
(x-1)=positiv.
Men er ikke (-2-1)=-3, altså negativ fremtil nullpunktet som er x=1, og etter x=1, positiv?
Eller er det jeg som klusser nå?
Takk for svar[/code]
Har lenge hatt en vag form for forståelse ang. fortegnsskjema, så nå er det på tide å få orden i sakene Som jeg forstår så bytter man ut x i (x-3) med et tall for å finne ut om verdien blir negativ eller positiv i fortegnsskjemaet.InnleggSkrevet: 21/03-2004 16:00 Tittel:
Hvis vi skal tegne linjen for f.eks. (x-3) i et fortegnsskjema, må vi først tenke oss hvilken verdi av x som gjør dette uttrykket til 0. Vi ser her at verdien blir 3, altså endrer dette uttrykket fortegn ved verdien 3. Setter vi inn verdier mindre enn 3 f.eks. 2, blir jo svaret -1, altså er dette uttrykket negativt (stiplet linje). Setter vi derimot inn verdier større enn 3, f.eks. 5, blir jo svaret positivt (hel linje).
Ex. (4-3)=1=positiv
Men så ble jeg forvirra:
(x-1)=positiv.
Men er ikke (-2-1)=-3, altså negativ fremtil nullpunktet som er x=1, og etter x=1, positiv?
Eller er det jeg som klusser nå?
Takk for svar
[/code]Lagt inn: 07/02-2012 13:16
PRøV og sett inn [tex]-2[/tex], og [tex]0[/tex] og [tex]2[/tex].
Det man gjør er at man deler ut uttrykket inn i enklere del, og se på når disse enlere delene er positive og negative.
For eksempel så er [tex]x-3[/tex] negativ når [tex]x<3[/tex] og positv når [tex]x>3[/tex].
For eksempel om vi har en brøk som
[tex]\frac{x-1}{x+1}[/tex]
Dersom både teller og nevner er negativ, så er brøken positiv.
Dersom teller og nevner har motsatte fortegn så er brøken negativ.
Dersom teller og nevner er positiv, så er jo åpenbart brøken positiv.
Det man gjør er at man deler ut uttrykket inn i enklere del, og se på når disse enlere delene er positive og negative.
For eksempel så er [tex]x-3[/tex] negativ når [tex]x<3[/tex] og positv når [tex]x>3[/tex].
For eksempel om vi har en brøk som
[tex]\frac{x-1}{x+1}[/tex]
Dersom både teller og nevner er negativ, så er brøken positiv.
Dersom teller og nevner har motsatte fortegn så er brøken negativ.
Dersom teller og nevner er positiv, så er jo åpenbart brøken positiv.
Lagt inn: 21/02-2012 16:00
Hvordan plasserer jeg [tex]2-x[/tex] i et slikt kjema?
Oppgaven min låter
[tex]\frac{x}{2-x}\,>\,0[/tex]
Siden 2-x ser ut som: 2 trekt i fra en ukjent verdi
(Eller, hvilken verdi er 2-x, i kjemaet).
Oppgaven min låter
[tex]\frac{x}{2-x}\,>\,0[/tex]
Siden 2-x ser ut som: 2 trekt i fra en ukjent verdi
(Eller, hvilken verdi er 2-x, i kjemaet).
Lagt inn: 21/02-2012 18:07
[tex]\hspace{181.5cm} 0 \hspace{76cm} 2[/tex]
[tex]\longrightarrow[430] \ \ x[/tex]
[tex]\hspace{10cm} x \hspace{10cm} [/tex][tex]\color{blue}------------[/tex] [tex]0[/tex][tex]\color{red}^{\underline{\hspace{230cm}[/tex]
[tex]2 - x \hspace{10cm}[/tex][tex]\color{red}^{\underline{\hspace{220cm}}}[/tex][tex]0[/tex][tex]\color{blue}------------[/tex]
[tex]\longrightarrow[430] \ \ x[/tex]
[tex]\hspace{10cm} x \hspace{10cm} [/tex][tex]\color{blue}------------[/tex] [tex]0[/tex][tex]\color{red}^{\underline{\hspace{230cm}[/tex]
[tex]2 - x \hspace{10cm}[/tex][tex]\color{red}^{\underline{\hspace{220cm}}}[/tex][tex]0[/tex][tex]\color{blue}------------[/tex]
Lagt inn: 21/02-2012 18:20
Takk Nebu = )
Det hjalp meg veldig med andre oppgaver også
Det hjalp meg veldig med andre oppgaver også
Re:
Lagt inn: 16/05-2019 11:30
HeiNebuchadnezzar skrev: For eksempel blir to blå linjer til en rød linje. To røde linjer blir til en rød linje, og to linjer med motsatte farger, blir til en blå linje. Dette kommer jo av det jeg skrev tidligere. Negativ og negativ blir positiv, positiv og positiv blir positiv, og forskjellige blir negative.
Angående summeringen av positiv/negativ linje:
Som du skriver selv, to positive linjer summeres til positiv linje, og to negative linjer summeres til positiv linje, Men hva med når det er flere linjer?
For eksempel om man har 3 positive linjer, blir det da negativ siden det er et oddetall? Vil seks positive linjer bli positivt? Hva med feks tre positive og tre negative?
Marius