matematikk.net

Gitt funksjonene f(x) = ((x + 4)/(x+1))

og

g(x) = ((x-2)/(x-4))

Løs ulikheten ved regning:

f(x) < g(x)

[tex]f(x) \: < \: g(x)[/tex]

[tex]\frac{x+4}{x+1} \: < \: \frac{x-2}{x-4}[/tex]

[tex](x+4)(x-4) \: < \: (x-2)(x+1)[/tex]

[tex]x^2-4^2 \: < \: x^2-x-2[/tex]

[tex]x^2-x^2+x \: < \: -2+4^2[/tex]

[tex]x \: < \: 14[/tex]

Når du ganger med x-4 og x+1, må du skille mellom flere tilfeller (om x-4 er positiv eller ikke og om x+1 er positiv eller ikke).
Husk: når du ganger en ulikhet med et negativt tall, da snur ulikhetstegnet seg.

1) x-4>0, x+1>0 (dvs. x>4, x>-1)

da kan du gjøre som ahe753 gjør.

Du får x<14 og har da fra før av x>4 altså x mellom 4 og 14.

2)x-4>0, x+1<0 (dvs. x>4, x<-1, umulig!)

Her ser du allerede at vi har ingen løsning.

3)x-4<0, x+1>0 (dvs. x<4, x>-1)

(x+4)(x-4)>(x-2)(x+1) (ulikhetstegnet snur seg)

x>14
Siden x<4, har vi ingen løsning her heller.

4)x-4<0, x+1<0 (dvs. x<4, x<-1)

(x+4)(x-4)<(x-2)(x+1) (ulikhetstegnet snur seg to ganger)

x<14

Siden nå x<-1, er x<-1 løsningen her.

Her er det absolutt lurest å unngå å multiplisere ulikheten med uttrykk av typen x - a. Følgende løsningsmåte er nok (mye) enklere:

[tex](1) \;\; \frac{x \:+\: 4}{x \:+\: 1} \;\;<\;\; \frac{x \:-\: 2}{x \:-\: 4}[/tex]

[tex]\frac{x \:+\: 4}{x \:+\: 1} \;-\; \frac{x \:-\: 2}{x \:-\: 4} \;\;<\;\; 0[/tex]

[tex]\frac{(x \:+\: 4)(x \:-\: 4) \:-\: (x \:+\: 1)(x \:-\: 2)}{(x \:+\: 1)(x \:-\: 4)} \;\;<\;\; 0[/tex]

[tex]\frac{x^2 \:-\: 16 \:-\: x^2 \:+\: x \:+\: 2}{(x \:+\: 1)(x \:-\: 4)} \;\;<\;\; 0[/tex]

[tex](2) \;\; \frac{x \:-\: 14}{(x \:+\: 1)(x \:-\: 4)} \;\;<\;\; 0[/tex]

Vha. av et fortegnsskjema for funksjonsuttrykket på venstre side av ulikhetstegnet i (2), får vi at løsningen av ulikheten (1) er

x ε (<-,-1) U (4,14).

Ja, dette var pinlig. Gjorde noen grove feil ved å neglisjere de helt elementære reglene for ulikheter...

Godt å se her finnes oppegående folk som kan korrigere forslaget og gi helt korrekte svar til trådstarter!