Jeg er bedt om å VISE at en funksjon (f(x) = x[sup]3[/sup]+3x+9) kun har ett nullpunkt. Hva menes med å vise?
Har problemer med å skille bevise, vise og forklare...
Nullpunkt
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Tenker at dersom den deriverte ikke kan være lik null har ikke funksjonen noe vendepunkt og ergo har den kun ett nullpunkt. Men hva med grafer som "vokser i etapper"?
Eks.
f(x) = x + sinx + 1
Må jeg sjekke om den deriverte har ulikt fortegn før og etter hvert punkt der funksjonen er lik null?
Eks.
f(x) = x + sinx + 1
Må jeg sjekke om den deriverte har ulikt fortegn før og etter hvert punkt der funksjonen er lik null?
Wilja
Den har også bare et nullpunkt. Den deriverte (cosx+1) varierer mellom 0 og 2.Wilja skrev:f(x) = x + sinx + 1
En funksjon trenger ikke har et vendepunkt for å ha flere nullpunkter, f eks f(x) = x[sup]2[/sup] - 1.
Hvis funksjoner har en derivert som har samme fortegn hele tiden er det en såkalt "1-1-tydig" funksjon, altså det er ikke flere x-verdier som gir den samme funksjonsverdienverdien f(x). Slike funksjoner har maksimalt et nullpunkt.
Var upresist av meg å bruke uttrykket vendepunkt.
Men dersom den deriverte ikke endrer fortegn, har den ingen vendepunkt, topp- eller bunnpunkt...
Er det å derivere funksjonen og si om den deriverte er konstant positiv eller negativ nok for å vise at funksjonen kun har ett nullpunkt?
Teskje...
Men dersom den deriverte ikke endrer fortegn, har den ingen vendepunkt, topp- eller bunnpunkt...
Er det å derivere funksjonen og si om den deriverte er konstant positiv eller negativ nok for å vise at funksjonen kun har ett nullpunkt?
Teskje...
Wilja
Vendepunkt er et punkt der den deriverte går over fra å øke til å avta eller omvendt, altså den andrederiverte er lik null.Wilja skrev:Var upresist av meg å bruke uttrykket vendepunkt.
Men dersom den deriverte ikke endrer fortegn, har den ingen vendepunkt, topp- eller bunnpunkt...
Bunnpunkt/topppunkt er ekstremalpunkter, eller kritisk punkt (f'(x)=0).
Men: selv om f'(x)=0 trenger det ikke være et toppunkt eller bunnpunkt, se f eks på den funksjonen du skrev f(x) = x + sinx + 1
Jeg skrev litt om vendepunkt og ekstremalpunkter her i enn annen tråd.
Det er nok til å si at den maksimalt kan ha et nullpunkt. Den trenger jo ikke nødvendigvis ha nullpunkter i det hele tatt. Hvis den skal skjære x-aksen flere ganger må jo grafen gå "opp og ned" og da må fortegnet på den deriverte endres.Wilja skrev:Er det å derivere funksjonen og si om den deriverte er konstant positiv eller negativ nok for å vise at funksjonen kun har ett nullpunkt?
Den kan også ha kun et nullpunkt selv om fortegnet på den deriverte endres, hvis dette skjer i nullpunktet...eks f(x)=x[sup]2[/sup]
Altså... til den funksjonen du hadde først. Den er definert for alle reelle tall, og den deriverte er konstant positiv. Da mener jeg det er nok til å vise at den har et, og bare et nullpunkt.
Jeg var litt rask her, dette stemmer ikke helt. Det forutsetter at funksjonen er kontinuerlig* for alle x. Ta for eksempel f(x)=tan(x). Den har jo uendelig med nullpunkter selv om den deriverte aldri er negativ.Jeg skrev:Det er nok til å si at den maksimalt kan ha et nullpunkt
*Kontinuerlig funksjon forklart på en enkel måte: Grafen kan tegnes uten å løfte blyanten fra papiret.