matematikk.net

I oppgave 2.57 spør de:
bestem et mulig funksjonsuttrykk for f når du får vite at:
f er en rasjonal funksjon
f(-3) =0
vertikal asymptote når x = 2

horisontal asymptote når y = 1

Kan noe forklare med nærmere det som har blitt gjort i fasit (se vedlegg)?

HeI! En rasjonal funksjon er en funksjon som kan skrives som en brøk der telleren og nevneren er polynomer.
I fasiten velger man i de tre første linjene den rasjonelle funksjonen $f(x) = \frac{ax +b}{cx +d} $ hvor konstantene a,b,c og d skal bestemmes ut fra den informasjonen som er gitt. Det velges altså lineære polynomer i teller og nevner. Siden f(x) = 0 for x = -3, får vi i linje 4 at $a*-3 + b = 0.\,\,$ Siden vi skal ha en vertikal asymptote for x = 2, dvs nevneren lik 0 for x = 2, får vi følgende likning
$2c + d = 0$.
Siden brøken $\frac{ax +b}{cx +d} $ skal gå mot 1 når x går mot+/- uendelig, får vi likningen $\frac{\frac{ax}{x} + \frac{b}{x}}{\frac{cx}{x} + \frac{d}{x}} \approx 1\, $ når |x| er stor. Det gir i 6. linje likningen $\frac{a}{c} = 1$. Vi har nå 3 likninger og fire ukjente, a,b,c og d. Linje 7 gir løsningene som en funksjon av d. Velger vi d = -2, får vi at a = 1, b = 3 og c = 1. Det gir $f(x) = \frac{x+3}{x-2}$ som er en mulig rasjonell funksjon ut fra opplysningene i oppgaven.

Takk for hjelpen!

I oppgave 2.57 spør de:

.
.
.
.