Enkel måte å sjekke om andregradsuttrykk kan faktoriseres?

[0mega]

La oss si vi har dette andregradsuttrykket:

[tex]x^2 + 18x + 81[/tex]

Fungerer dette da som algoritme for å se hvorvidt det kan faktoriseres:

Vi tenker at det står a^2 + 2 ab + b^2.

• Del først 2ab på 2. Her blir det 18x/2. Vi får 9.

• Deretter kvadrer 9. Hvis det da blir 81, altså siste ledd, ja da kan det faktorieres og blir da [tex](x+9)^2[/tex]
  .

Jeg vet ikke om uttrykk slik som [tex]x^2 + 18x + 314[/tex] kan faktoriseres. Altså uttrykk hvor den regelen jeg lagde nå ikke funker.

[Mattebruker]

Faktorisering andregradsuttrykk:

Det allmenne andregradsuttrykket kan skrivast

( * ) a x[tex]^{2}[/tex] + bx + c

Verdien til ( b[tex]^{2}[/tex] - 4 a c ) avgjer om uttrykket ( * ) kan skrivast på forma a ( x - x[tex]_{1}[/tex] ) ( x - x[tex]_{2}[/tex] )

1) b[tex]^{2}[/tex] - 4 a c [tex]<[/tex] 0 [tex]\Rightarrow[/tex] uttrykket ( * ) kan ikkje faktoriserast ( grafen til ( * ) har ingen fellespunkt med x - aksen )

2) b[tex]^{2}[/tex] - 4 a c = 0 gir to samanfallande nullpunkt [tex]\Rightarrow[/tex] uttrykket ( * ) kan skrivast på forma a ( x - x[tex]_{1}[/tex] )[tex]^{2}[/tex] ( grafen berører( tangerer ) x - aksen )

3) b[tex]^{2}[/tex] - 4 a c [tex]>[/tex] 0 gir to distinkte nullpunkt [tex]\Rightarrow[/tex] uttrykket ( * ) kan skrivast på forma a [tex]\cdot[/tex]( x - x[tex]_{1}[/tex] )( x - x[tex]_{2}[/tex] ) ( grafen kryssar x - aksen )

Eksempel: Gitt x[tex]^{2}[/tex] + 18 x + 314 ( her er a = ? , b = ? og c = ? )

Bruke testen ovanfor til å avgjere om dette uttrykket kan faktoriserast. God fornøyelse !

[0mega]

Takker!

[tex]b^2 - 4*a*c[/tex] blir [tex]18^2-4*314 = -932[/tex] så med negativt resultat vil det si at ligningen kan ikke faktoriseres.

Jeg prøvde nå med et nytt uttrykk med et litt mindre tall. Jeg prøver den samme regneoperasjonen der. [tex]f(x)=x^2+18 x+19[/tex]. Dette uttrykket skal ha to nullpunker.

[tex]b^2 - 4*a*c[/tex] blir da [tex]18^2-4*19 = 248[/tex]. Selv om uttrykket består regelen du skisserte er jeg litt usikker på om det kan faktoriseres. Jeg vet ikke om kvadratroten av alt som står under rottegnet må bli et heltall, at det er et slags krav for å kunne faktorisere det? Jeg bare tenker høyt nå.

Jeg tegnet grafen for det sistnevne uttrykket og ser at det skjærer y-aksen når x er omtrent -1,125 ∨ -16,875

[Mattebruker]

Hallo !
Det er sjølvsagt ein fordel om kvadratrota av ( b[tex]^{2}[/tex] - 4 a c ) er eit heiltal. Da vil nullpunkta bli rasjonale tal ( heiltal eller brøk ). I motsett fall blir nullpunkta irrasjonale tal ( rotuttrykk ). Og desse har alltid ein rasjonal tilnærmingsverdi ( skrivast som desimaltal ).

Eksemplet du presenterer f( x ) = x[tex]^{2}[/tex] + 18x + 19

har nullpunkta x [tex]\approx[/tex] -1.126 eller x [tex]\approx[/tex] -16.874 ( slik du har rekna ut ) ettersom [tex]\sqrt{248}[/tex] er eit irrasjonalt tal ( [tex]\sqrt{248}[/tex] [tex]\approx[/tex] 15.748 )

Heilt eksakt: x = -9 + [tex]\sqrt{62}[/tex] eller x = - 9 - [tex]\sqrt{62}[/tex] ...... ( [tex]\sqrt{248}[/tex] = [tex]\sqrt{2\cdot 2\cdot 62}[/tex] = 2 [tex]\sqrt{62}[/tex] )

Funksjonsuttrykket ( f( x ) ) har to nullpunkt og kan dermed skrivast som eit produkt av to førstegradsuttrykk:

f( x ) = x[tex]^{2}[/tex] + 18x + 19 = ( x - ( -9 + [tex]\sqrt{62}[/tex] )) ( x - ( -9 - [tex]\sqrt{62}[/tex] ) )

Kontroll: Produktet av nullpunkta er lik konstantleddet ( c ) i funksjonsuttrykket f( x ) ( x[tex]_{1}[/tex] [tex]\cdot[/tex] x[tex]_{2}[/tex] = c )

Gjennomføre kontrollen og vis at dette stemmer !

[Rosen22]

Hei.

Ser at du har allerede fått svar på det du spurte, men hadde bare lyst å tilføye denne regelen. Veldig fin regel som kan spare deg en del tid. Du har sannsynligvis vært borti den en eller annen gang, men den lyder slik:

La oss si at:
[tex]x^{2}+bx+c = (x+d)(x+e)[/tex]

Så medfører det at [tex]x^{2}+bx+c=x^2+(d+e)x+de[/tex]

Regelen sier hvis du finner to verdier, altså d og e, hvor d+e = b og d*e = c, så kan putte de to tallene i egne paranteser.

(Vær obs på at regelen gjelder dersom andergradsuttrykket ikke har a-koeffisient. Da blir du nødt til å dele bort a-koeffisienten, bruke regelen og deretter sette a-koeffisenten foran parantesene)

[0mega]

Takker, Rosen!

Jepp, jeg kjenner til heltallsmetoden. Eller sum og produkt-metoden, som den også kalles. Vil du si at et annet krav for bruk er at man også må ha en konstant som er [tex]\geq 0[/tex] for at metoden skal fungere?

Jeg tror at dette stemmer for heltallsmetoden:

• Begynn med å faktorisere konstanten som om den var et absolutt tall

• Hvis uttrykkets konstant er negativ må en av dens faktorer være negativ, den andre positiv (fordi kun minus ganger pluss blir minus)

• Hvis uttrykkets konstant er positiv, men uttrykkets andre koeffesient er negativ, så leter vi etter to negative faktorer i konstanten.

Jeg vet for øvrig ikke om det er korrekt språkbruk å si at "den andre koeffesienten er negativ". Er det rett å si det sånn? Hvis koeffesienten er isolert sett tallet som står før typ -18x, altså "18", så ...

Så skal man se på verdien til den andre koeffesienten. Gjerne avstanden i absolutt verdi hvis det er en negativ og en positiv faktor. Jeg gjorde en prøveeksamen og bare brukte prøv og feil-metoden, og da fikk jeg på pukkelen. Man skal begrunne hvorfor man prøver visse tall.

[0mega]

Takker, Mattebruker!

Jeg brukte litt tid på innlegget ditt, for du bruker mange fine begrep. Rasjonale tall, irrasjonale. Jeg tenkte å lære meg disse før jeg gikk videre, og for å lære de ordentlig gikk fant jeg et wenndiagram for reelle tall med N, Z, R men akk, kunnskapen kunne ikke bare hamres inn for det er uenigheter om hvorvidt 0 tilhører N eller heller tilhører W. Alle er i alle fall enige om at 0 tilhører Z. Jeg brukte litt tid på det der

Den prøve på svaret-metoden du skisserer er pen! Jeg har aldri sett den før.

Jeg prøver først tilnærmingsverdiene jeg fant: -1,125 * -16,875 ≈ 19 (ble 18.984...)

Jeg prøver så verdiene du regnet ut: [tex](-9+\sqrt{62})(-9-\sqrt{62}) = 19[/tex]

Det blir vel en slags avlegger av produkt sum-metoden, at man kan gjøre slik. Jeg har ikke tenkt tanken, i alle fall. Takker!

[Mattebruker]

Hallo ! Nye ord og uttrykk kan lett føre til begepsforvirring. Kanskje vil denne presiseringa verke oppklarande:

Skilnaden mellom rasjonale og irrasjonale tal:

Definisjon: Eit rasjonalt/irrasjonalt tal kan/( kan ikkje) skrivast som ein brøk med heiltallig teljar og nemnar.

Eksempel: Desimaltalet 1.126 er eit rasjonalt tal ettersom 1.126 = [tex]\frac{1126}{1000}[/tex]

[tex]\sqrt{2}[/tex] kan ikkje skrivast som ein brøk med heiltallig teljar og nemnar. Altså er [tex]\sqrt{2}[/tex] per definisjon eit irrasjonalt tal.

Tilbake til uttrykket x[tex]^{2}[/tex] + 18 x + 19

Min kalkulator gir desse rasjonale tilnærmingsverdiane for dei irrasjonale nullpunkta : x [tex]\approx[/tex] -1.126 eller x [tex]\approx[/tex] -16.874

Bruke produkttesten ( x[tex]_{1}[/tex] [tex]\cdot[/tex] x[tex]_{2}[/tex] = c ) og vis at vi kjem svært nær konstantleddet( c ) . God fornøyelse !

[0mega]

Takker, Mattebruker!

Nye ord og uttrykk er fint. Jeg kjørte meg litt fast på denne, fordi når jeg slo opp disse nye begrepene dukket en masse andre begrep opp, som jeg også ville lære meg. Og etter litt frem og tilbake så jeg at den engelske kategorien som heter whole numbers er fra null og oppover, mens den norske definisjonen av heltall er sammenfallende med zahl/integer. Jeg prøver å lære meg alt jeg kommer over. Fin presisering du har!

Forresten også fin presisering at vi ganger x₁ med x₂ (og ikke de andre tallene i parentesen). Da legger jeg inn -1,126 * -16,874 på kalkulatoren og får 19,000124. Temmelig nær svaret.

Er forresten "produkttesten" et etablert begrep? Jeg antar alle sensorer skjønner hva man mener, men jeg googlet det uten å finne noe. Jeg tenkte å bruke begrepet på eksamen, hvis vi får en slik oppgave.

[Mattebruker]

"Produkttesten" er eit sjølvlaga begrep , og ikkje eit etablert og eintydig begrep innafor matematikken. Men når vi brukar dette uttrykket saman med formelen x[tex]_{1}[/tex] [tex]\cdot[/tex] x[tex]_{2}[/tex] = c , bør tydinga likevel vere rimeleg klar og eintydig.
Samtidig er det viktig å presisere at formelen har som føresetnad at koeffisienten( a ) i x[tex]^{2}[/tex] - leddet er lik 1.
I det allmenne andregradsuttrykket ( a x[tex]^{2}[/tex] + b x + c ) gjeld denne formelen :

x[tex]_{1}[/tex] [tex]\cdot[/tex] x[tex]_{2}[/tex] = [tex]\frac{c}{a}[/tex] , der x[tex]_{1}[/tex] og x[tex]_{2}[/tex] er nullpunkta ( skjeringspunkta med x - aksen )

[0mega]

Vakkert. Takk!

P.S. Det blir mye vakkert/pent/fint i kommetarene mine, men jeg synes simpenthen det er estetisk behagelig å se hvordan disse tingene henger sammen, og går opp med hverandre. Takker for gode kommentarer!

[Rosen22]

(Dette er et svar til spørsmålet rundt ("hoderegningsmetoden"/"heltallsmetoden")

Du kan bruke heltallsmetoden for faktorisering av andregradsuttrykk med desimal-koeffisienter, men det vil bli noe mer kompliserende og vanskligere å tenke seg fram til. Følgende eksempel bruker kun cirkaverdier.

[tex]x^{2}+\frac{2}{3}x-4 =(x+2.36)(x-1.69)[/tex]

b = 2/3 = d + e = 2.36-1.69 = 0,67
c = -4 = d*e = 2.36 * (-1.69) = -3.98

[0mega]

Takker, Rosen22! Har du brukt denne metoden før med desimalkoeffisienter på eksamen eller prøver?

Jeg forstår det slik at dette er generelle regler for heltallsmetoden. Jeg vet ikke om du ville gått god for disse. Vi har en funksjon
[tex]ax^2 + bx + c[/tex]. Gitt at a = 1 og c ≠ 0 så kan vi bruke heltallsmetoden. Og vi vet at:

• Hvis både b og c er positive, så leter vi etter to positive faktorer i c. Dette betyr at begge nullpunktene er negative (x-verdiene er negative)

• Hvis c er negativ, så leter vi etter en positiv og en negativ faktor i c. Dette betyr at vi får et negativt og et positivt nullpunkt

• Hvis b er negativ og c er positiv, så leter vi etter to negative faktorer i c. Dette betyr at begge nullpunktene er positive

Læreren min gikk ikke uten videre med på dette. Jeg leste om det på UDL. Jeg har prøvd meg frem med ulike verdier for a, b og c. Jeg brukte den "glider"-funksjonen i GeoGebra, og i hvert fall med alle verdiene jeg har prøvd, så gir påstandene mening. Da jeg prøvde meg frem spilte det heller ingen rolle om a var større enn én.

[Rosen22]

Hei.

Nei, ikke ofte at jeg bruker regelen med desimalkoeffisienter. Litt usikker på hva du mener at a-koeffisienten ikke har noe å si? Hoderegningsmetoden kun definert for andregradsuttrykk "uten" a-koeffisient