Hei, jeg trenger hjelp til å løse diofantiske likninger. Finner egentlig ikke noen på nettet som løser det på samme måte som jeg har lært. Forstår at likningene må være innbyrdiske primiske. Men er det mulig å løse likninger som ikke er det?
Slik som 6x-10y=14? Eller likninger der man ikke klarer å komme en x over/ under som: 10x-8y=42. Er det mulig å løse disse med metoden vist nedenfor?
Det er denne metoden vi har lært for å løse diofantiske likninger:
3x-5y=7
3x-7=5 - skal kunne deles på 5
6x-14
(5x-15)+(x+1)
x+1=5t
x=5t-1
3(5t-1)-5y=7
15t-3-5y=7
-5y=-15t7+3
y=3t-2
Takk for hjelpen
Diofantiske likninger
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Mattebruker
- Weierstrass
- Innlegg: 474
- Registrert: 26/02-2021 21:28
Tips: Legge inn søkeordet diofantiske likninger på Google . Da vil Peer Andersen ( Universitetet i SørØst Norge ) sitt kompendium
Diofantiske likninger
straks dukke opp på skjermen. Lukke til !
Diofantiske likninger
straks dukke opp på skjermen. Lukke til !
-
Mattebruker
- Weierstrass
- Innlegg: 474
- Registrert: 26/02-2021 21:28
Generelt om lineære diofantiske likningar:
Den diofantiske likninga a x + b y = c har løysing dersom og berre dersom sff( a , b ) går opp i c ( c er deleleg med sff( a , b ) )
Eksempel : Den diofantiske likninga 5 x + 10 y = 9 har inga løysing då sff( 5 , 10 ) = 5 ikkje går opp i 9.
Tilbake til likningane du presenterer i innlegget ditt:
a) Likninga 6x - 10 y = 14 ( : 2 ) [tex]\Leftrightarrow[/tex] 3x - 5y = 7 ( * )
Her ser vi lett( utan å bruke Euklid's algoritme ) at x = 4 [tex]\wedge[/tex] y = 1 er ei spesiell løysing.
Da får vi den allmenne løysinga
x = 4 + 5 n [tex]\wedge[/tex] y = 1 + 3 n ( Hugseregel: Koeffisienten til n-leddet i x - uttrykket = koeffisienten til y - leddet( absoluttverdi ) i likninga ( * ) ; tilsvarande regel gjeld for n-leddet i y - uttrykket ).
b) 10 x - 8 y = 42 ( : 2 ) [tex]\Leftrightarrow[/tex] 5x - 4 y = 21
Også i dette tilfelle kan vi lett plukke ut ei spesiell løysing ( hint: 5 [tex]\cdot[/tex] 5 - 4 [tex]\cdot[/tex] 1 = 21 ). Elles same framg. måte som under pkt. a)
Tillegg: Finn den allmenne løysinga til den diof. likninga 3 x + 5 y = 11 ( * )
Merk: Her har vi plussteikn( + ) mellom x - og y - leddet. Det betyr at vi må legge inn eit minusteikn( - ) når vi stiller opp den allmenne løysinga.
Dette er nødvendig for at n - ledda skal " nulle ut " når vi set inn det allmenne uttrykket for x og y i likninga ( * )
Den diofantiske likninga a x + b y = c har løysing dersom og berre dersom sff( a , b ) går opp i c ( c er deleleg med sff( a , b ) )
Eksempel : Den diofantiske likninga 5 x + 10 y = 9 har inga løysing då sff( 5 , 10 ) = 5 ikkje går opp i 9.
Tilbake til likningane du presenterer i innlegget ditt:
a) Likninga 6x - 10 y = 14 ( : 2 ) [tex]\Leftrightarrow[/tex] 3x - 5y = 7 ( * )
Her ser vi lett( utan å bruke Euklid's algoritme ) at x = 4 [tex]\wedge[/tex] y = 1 er ei spesiell løysing.
Da får vi den allmenne løysinga
x = 4 + 5 n [tex]\wedge[/tex] y = 1 + 3 n ( Hugseregel: Koeffisienten til n-leddet i x - uttrykket = koeffisienten til y - leddet( absoluttverdi ) i likninga ( * ) ; tilsvarande regel gjeld for n-leddet i y - uttrykket ).
b) 10 x - 8 y = 42 ( : 2 ) [tex]\Leftrightarrow[/tex] 5x - 4 y = 21
Også i dette tilfelle kan vi lett plukke ut ei spesiell løysing ( hint: 5 [tex]\cdot[/tex] 5 - 4 [tex]\cdot[/tex] 1 = 21 ). Elles same framg. måte som under pkt. a)
Tillegg: Finn den allmenne løysinga til den diof. likninga 3 x + 5 y = 11 ( * )
Merk: Her har vi plussteikn( + ) mellom x - og y - leddet. Det betyr at vi må legge inn eit minusteikn( - ) når vi stiller opp den allmenne løysinga.
Dette er nødvendig for at n - ledda skal " nulle ut " når vi set inn det allmenne uttrykket for x og y i likninga ( * )