matematikk.net

Hei!
Når man regner sannsynligheten φ(z) i normalfordelinger, er z-verdien antall standardavvik fra forventningsverdien? Og så finner vi den verdien i en normalfordelingstabell?

Ja

Så hvordan skal jeg gjøre dersom jeg skal finne sannsynligheten for at X-verdien er 2 standardavvik fra forventningsverdien (som vil være 0.954), både 2 standardavvik mindre og 2 standardavvik større? Hvis det ga mening? Hva blir regnestykke, om man skal regne for hånd (Del 1).

I en tabell over kumulativ standardnormalfordeling vil kolonnen lengst til venstre angi z-verdier, typisk fra -3 til 3. En z-verdi vil her vise, som du selv skrev, antall standardavvik et utfall avviker fra forventningsverdien til den stokastiske variabelen. Negative avvik, (mindre enn), gir negativ z og positive, (større enn), gir positiv z. Tallene i rekken rett til høyre for z-verdien angir sannsynligheten for at utfallet er minden z.0n, hvor n varierer fra 0 til 9. Slik vil sannsynligheten for at utfallet er mindre enn f.eks. 1.53 være 0.9370 og mindre enn 2.00 (standardavvik) være 0.9772. (Du skriver 0.954, her tror jeg du må ha blingset) Mer enn 2 standardavvik vil ha sannsynligheten 1 - 0.9772 = 0.0228. Det finnes ingen enkel formel for utregningen av sannsynighetene knyttet til de ulike z-verdiene. Derfor er de tabulert. Så i stedet for å regne for hånd, blir det å slå opp i tabell. I dag finnes det selvfølgelig også lommeregnere og dataprogrammer som knuser dette numerisk.

Her løner det seg å bruke den såkalla G - funksjonen ( i nokre læreverk kalla [tex]\Phi[/tex] - funksjonen )

La X vere ein normalfordelt stokastisk variabel.

G( z ) = ( pr. def ) P[ X [tex]\leq[/tex] [tex]\mu[/tex]( forventningsverdi ) + z[tex]\cdot[/tex] [tex]\sigma[/tex]( standardavvik) ]

Talet på standardavvik ( z ), målt ut frå forventningsverdien( symmetrilinja ) , reknar vi ut etter denne enkle og greie formelen:

z = [tex]\frac{X_{obs} - \mu }{\sigma }[/tex]

Når observert X-verdi ( X[tex]_{obs}[/tex] ) ligg til høgre for symmetrilinja ( X[tex]_{obs}[/tex] [tex] > [/tex] [tex]\mu[/tex] ) , er z positiv og G( z ) > 0.5
Når observert X-verdi ( X[tex]_{obs}[/tex] ) ligg på symmetrilinja( X[tex]_{obs}[/tex] = [tex]\mu[/tex] ) , er z = 0 og G( z ) = 0.5
Når observert X-verdi ( X[tex]_{obs}[/tex] ) ligg til venstre for symmetrilinja ( X[tex]_{obs}[/tex] [tex] < [/tex] [tex]\mu[/tex] ) , er z negativ og G( z ) < 0.5

Vi har da at G( z ) = G( [tex]\frac{X_{obs} - \mu }{\sigma }[/tex] ) ( på del 1 av S2 - eksamen lesast denne verdien( sannsynet ) av i ein tabell som kandidaten får utlevert saman med eksamensoppgåva )