hjelp

[jos]

Siden summen starter med at $ i = 0$, får vi at ledd nr $ n = k^n$ og at ledd nr $n +1, a_{n+1}, = k^{n+1}$. Induksjonsskrittet gir $S_{n+1} = S_n + a_{n+1} = \frac{1 - k^{n+1}}{1-k} + k^{n+1} = $
$\frac{1 - k^{n+1}+ k^{n+1} - k^{n+2}}{1 - k} = \frac{1 - k^{n+2}}{1-k}$

[eirikueland]

tusen hjertlig takk for hjelpen.

[eirikueland]

noken tips gjerne .

Pål betaler 2000 kr i husleie ved slutten av hver måned. Han har en kontrakt som sier at han skal betale den samme leien "i all evighet".
Hvilket engangsbeløp svarer leien til hvis vi regner med en kalkulasjonsrente på 6 % p.a.?

Skjønner ikke hvordan jeg skal løse denne. Klarer heller ikke forstå hva kalkulasjonsrente er?????

[Mattebruker]

Oppgava spør etter noverdien ( kontantverdien ) av alle husleigene " frå no av og til evig tid ".

Renta er oppgitt til 6 % per år som svarar til ein "årleg" vekstfaktor vf = 1.06

Vekstfaktor over 1 månad k = vf[tex]^{\frac{1}{12}}[/tex] = 1.06[tex]^{\frac{1}{12}}[/tex] = 1.004867551

Resten av problemet løyser vi enklast og greiast ved å bruke Sum- kommandoen i CAS:

1) Linje 1 i CAS - feltet: Legg inn vekstfaktor k := 1.004867551 ( hugs tilordningssymbolet := ) .

2) Linje 2 : Skriv inn kommandoen som reknar ut summen: ( 2000[tex]\cdot[/tex] Sum( 1/k[tex]^{i}[/tex] , i , 1 , inf )

3) Linje 3 : Trykk på [tex]\approx[/tex] - tasten til venstre på verktøylinja, og summen ( svaret ) dukkar straks opp på neste linje ( i CAS - feltet ).

Min PC kjem ut med dette beløpet: 410125.9271

[eirikueland]

tusen takk nettopp fant svaret , eg har siste to oppgaver som eg ble ferdig med hele pensumet , den ene er å vise en induksjon og den er ,

[tex]\sum_{i=1}^{n}i.2^{i-1}=(n-1).2^{n}+1[/tex]

den andre siste i boka , er

[tex]a_{1}=2^\frac{1}{cosx}, k= 2^{\frac{2sinx-1}{cosx}}[/tex]

finn [tex]a_{2}[/tex]
og kovergensområdet for rekken , kan du hjelpe meg på dette

[Mattebruker]

Induksjonsoppgåva: Bla deg tilbake i tråden og studer Josi si løysing ( problema er i prinsippet heilt like - vise formelen for summen til ei rekke )

Neste problem: Geometrisk rekke der a[tex]_{1}[/tex] = 2[tex]^{\frac{1}{cosx}}[/tex] og kvotienten k = 2[tex]^{\frac{sinx - 1}{cosx}}[/tex]

Andre leddet a[tex]_{2}[/tex] = a[tex]_{1}[/tex] [tex]\cdot[/tex] k = 2[tex]^{\frac{1}{cosx}}[/tex] [tex]\cdot[/tex] 2[tex]^{\frac{sinx - 1}{cosx}}[/tex] ( her brukar vi produktregelen for potensar med same grunntal: ( a[tex]^{m}[/tex] [tex]\cdot[/tex] a[tex]^{n}[/tex] = a[tex]^{m + n}[/tex] ) . Da endar vi opp med

2[tex]^{\frac{1}{cosx}(1 + sinx - 1)}[/tex] = 2[tex]^{\frac{sinx}{cosx}}[/tex] = 2[tex]^{tanx}[/tex]


Konvergensområdet til rekka ?
Den geom. rekka konv. når [tex]\left | k \right |[/tex] [tex]<[/tex] 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\left | 2^{\frac{1 - sinx}{cosx}} \right |[/tex] [tex]<[/tex] 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] ( fordi exp-funksjonen er [tex]>[/tex] 0 ) 2[tex]^{\frac{sinx - 1 }{cosx}}[/tex] [tex]<[/tex] 1 = 2[tex]^{0}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] ( fordi exp-funksjonen med grunntal 2 er veksande ) [tex]\frac{sinx -1}{cosx}[/tex] [tex]<[/tex] 0

Denne ulikheita løyser vi ved å stille opp eit forteiknskjema ( går ut frå at grunnmengda G = [ 0 , 2[tex]\pi[/tex] [tex]>[/tex] sidan vi har å gjere med eit trig. uttrykk )
Prosedyre:
1) Trekke opp den aktuelle delen av tallinja ( 0 [tex]\leq[/tex] x [tex]\leq[/tex] 2 pi )

2) Trekke forteiknslinja til teljar ( sinx - 1 ). Her løner det seg å bruke sin-grafen som hjelpefigur. Når vi flytter denne ei eining i negativ y-retning , ser vi straks at
sinx - 1 = 0 for x = [tex]\pi[/tex], og negativ for alle andre x [tex]\in[/tex] G.

3) Trekke forteiknslinja til cosx ( bruk cos-grafen som hjelpefigur , jamfør punkt 2 ) )

4) Tallinja til brøken [tex]\frac{sinx -1}{cosx}[/tex] lesast ut av forteiknskjemaet ( sjå punkt 1 - 3 )

Hugs at brøken [tex]\frac{sinx -1}{cosx}[/tex] = 0 når teljar( sinx - 1 ) og berre teljar er lik null ( markerast med 0 på tallinja ). Brøken er ikkje definert
når nemnar ( cosx = 0 ). Dette markerast med eit brudd ( x ) på tallinja.
Da ser vi at tallinja til brøken [tex]\frac{sinx -1}{cosx}[/tex] får eitt nullpunkt og to bruddpunkt ( x ). Desse
deler inn tallinja i fire delintervall innafor grunnmengda G = [ 0 , 2pi >
No står det berre att å lese av dei områda( delintervalla ) der brøken er negativ , dvs. der tallinja er stipla ( - - - - - - - - - )

Da får eg at rekkja konv. når [tex]\frac{sinx -1}{cosx}[/tex] < 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] 0 [tex]\leq[/tex] x [tex]<[/tex] [tex]\frac{\pi }{2}[/tex] eller [tex]\frac{3\pi }{2}[/tex] < x < 2[tex]\pi[/tex] ( spent på om dette stemmer med fasit )

[eirikueland]

fasiten er : [tex]0\leq x< \frac{\pi }{6}, \frac{\pi }{2}< x< \frac{5\pi }{6},\frac{3\pi }{2}< x< 2\pi[/tex]
om du kan hjelpe med å skive løsning som helhet liksom , klarer ikkje å løse d sjøl

[Mattebruker]

Hallo ! Beklagar å ha lese feil på eksponenten til kvotienten k . Rett uttrykk: k = 2[tex]^{\frac{2 sinx - 1}{cosx}}[/tex] Dette fører til at
vi kjem ut med feil svar på begge delspørsmåla . Da kan vi heller gjere eit nytt forsøk:

a[tex]_{2}[/tex] = a[tex]_{1}[/tex] [tex]\cdot[/tex] k = 2[tex]^{\frac{1}{cosx}}[/tex] [tex]\cdot[/tex] 2[tex]^{\frac{2 sinx - 1}{cosx}}[/tex] = 2[tex]^{\frac{1}{cosx}(1 + 2 sinx - 1)}[/tex] = 2[tex]^{\frac{2sinx}{cosx}}[/tex] = (2[tex]^{2}[/tex] )[tex]^{\frac{sinx}{cosx}}[/tex] = 4[tex]^{tanx}[/tex]

b) Rekkja konv. når k = 2[tex]^{\frac{2sinx - 1}{cosx}}[/tex] [tex]<[/tex] 1 = 2[tex]^{0}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] ( exp. fu. er veksande når grunntalet > 1 )

[tex]\frac{2sinx - 1}{cosx}[/tex] < 0

Ulikheita løyser vi stort sett etter same oppsettet som eg viste i mitt forrige innlegg, men der er ein liten forskjell: Når vi skal bestemme forteiknslinja til
teljaren , må vi først finne nullpunkta ( desse kan vi ikkje lese direkte ut av grafen til sin-funksjonen )

2 sinx - 1 = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] sinx = [tex]\frac{1}{2}[/tex] ( velkjend sin-verdi ) [tex]\Leftrightarrow[/tex] x = [tex]\frac{\pi }{6}[/tex]eller x = ( [tex]\pi[/tex] - [tex]\frac{\pi }{6}[/tex] ) = [tex]\frac{5\pi }{6}[/tex] ( hugs at to vinklar med sum lik[tex]\pi[/tex] har same sin-verdi ) .
Korleis bestemme forteiknslinja ? Ser lett at 2 sin0 - 1 = 0 - 1 < 0
Da veit vi at 2sinx - 1 er negativ f.o.m. null opp til første nullpunkt( [tex]\frac{\pi }{6}[/tex] )
, for deretter å skifte forteikn frå minus til pluss , og vidare frå pluss til minus ved neste nullpunkt ( [tex]\frac{5\pi }{6}[/tex] ), ...o.s.v......

Da gjeld det berre å følgje instruksjonane eg prøvde å liste opp i mitt forrige innlegg.

Oppsummering: Forteiknslinja til brøken [tex]\frac{2sinx - 1}{cosx}[/tex] får to nullpunkt( 0 ) og to bruddpunkt ( x ) . Desse deler inn forteiknslinja i fem delintervall innafor grunnmengda G = [ 0 , 2pi > . No står det att å trekke forteiknslinja , og så til slutt å plukke ut dei delintervalla der brøken er negativ ( visast
med stipla linje ( - - - - - - - - - - ) ). Da vil vi finne at fasit med tre delintervall er heilt korrekt !

[eirikueland]

nettopp har d blitt tydelig for meg , hjertlig tusen takk for hjelpen