Hei sitter litt fast, fint om noen kan hjelpe meg med å finne grenseverdien til
lim h —> 0 ((x+h)^3 - x^3)/h.
Fasiten sier 3x^2 men uansett om jeg faktoriserer eller utvider eller hva, jeg får det ikke til
Takk
Grenseverdier
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Forslag til løsning under. Er en stund siden jeg drev med dette sist så usikker på om metodikken er 100% korrekt.
[tex]\frac{(x+h)^3-x^3}{h}[/tex]
(1) utvid [tex](x+h)^3[/tex]
[tex](x+h)(x+h)(x+h)[/tex]
[tex](x^2+hx+hx+h^2)(x+h)[/tex]
[tex](x^2+2hx+h^2)(x+h)[/tex]
[tex](x^3+hx^2+2hx^2+2h^2x+h^2x+h^3)[/tex]
[tex]x^3+3hx^2+3h^2x+h^3[/tex]
(2) Puttt inn i likning:
[tex]\frac{x^3+3hx^2+3h^2x+h^3-x^2}{h}[/tex]
(3) Gjør mer oversiktlig:
[tex]\frac{x^3}{h}+\frac{3hx^2}{h}+\frac{3h^2x}{h}+\frac{h^3}{h}-\frac{x^3}{h}[/tex]
(4) Faktoriser ut h, kun hensiktsmessig i andre ledd
[tex]\frac{3hx^2}{h} = 3x^2[/tex]
(5) Sett h [tex]\approx[/tex] 0
[tex]\frac{x^3}{h}+{3x^2}+\frac{3h^2x}{h}+\frac{h^3}{h}-\frac{x^3}{h}[/tex]
[tex]0 + 3x^2 + 0 + 0 + 0[/tex]
6) svar
[tex]lim_{h\rightarrow 0} =3x^2[/tex]
Notat, med litt øvelse kan du hoppe over en del av disse trinnene
[tex]\frac{(x+h)^3-x^3}{h}[/tex]
(1) utvid [tex](x+h)^3[/tex]
[tex](x+h)(x+h)(x+h)[/tex]
[tex](x^2+hx+hx+h^2)(x+h)[/tex]
[tex](x^2+2hx+h^2)(x+h)[/tex]
[tex](x^3+hx^2+2hx^2+2h^2x+h^2x+h^3)[/tex]
[tex]x^3+3hx^2+3h^2x+h^3[/tex]
(2) Puttt inn i likning:
[tex]\frac{x^3+3hx^2+3h^2x+h^3-x^2}{h}[/tex]
(3) Gjør mer oversiktlig:
[tex]\frac{x^3}{h}+\frac{3hx^2}{h}+\frac{3h^2x}{h}+\frac{h^3}{h}-\frac{x^3}{h}[/tex]
(4) Faktoriser ut h, kun hensiktsmessig i andre ledd
[tex]\frac{3hx^2}{h} = 3x^2[/tex]
(5) Sett h [tex]\approx[/tex] 0
[tex]\frac{x^3}{h}+{3x^2}+\frac{3h^2x}{h}+\frac{h^3}{h}-\frac{x^3}{h}[/tex]
[tex]0 + 3x^2 + 0 + 0 + 0[/tex]
6) svar
[tex]lim_{h\rightarrow 0} =3x^2[/tex]
Notat, med litt øvelse kan du hoppe over en del av disse trinnene