Logaritmeligninger og Deriverte funksjoner

[Sjakk Matt]

Noen som klarer å løse disse?

f(x)=x^3+roten av x

g(x)=(x^3+2x+3)^4

h(x) =2x/e^3x


2lg x + 3lg x=15

3 lg x *(lg(x-1) +2)=0

(x-2)^2 =10-3x

[jos]

Godt nytt år!
De tre første uttrykkene er ikke ligninger og følgelig ikke noe som skal løses. De tre siste linjene angir derimot ligninger, og her kunne det være interessant å få høre hva du selv har tenkt om løsningsmuligheter.

[Sjakk Matt]

Ja, det er da, sliter litt med logaritmer

[jos]

La oss se på den første logaritmeligningen.


$2lgx + 3lgx = 15$

Vi ordner venstresiden av ligningen ved å bruke to regneregler for logaritmer, logaritmen til et potensuttrykk og logaritmen til et produkt.

Logaritmen av et potensuttrykk: $lg(a^m) = m * lga$.

I ligningen ovenfor: $2lgx = lg(x^2), \,3lg(x) = lg(x^3)$

Så venstresiden blir: $2lgx + 3lgx = lg(x^2) + lg(x^3)$

Vi bruker nå regelen for logaritmen til et produkt: $lg(a * b) = lga + lgb$

Så venstresiden i ligningen blir:

$ lg(x^2) + lg(x^3) = lg(x^2 * x^3) = lg (x^{2 + 3}) = lg(x^5) $

Dermed blir ligningen

$lg(x^5) = 15$

10 opphøyd i logaritmen til et tall er tallet. Så vi får

$10^{lg{x^5}} = x^5 = 10^{15}$

$x = 10^{\frac{15}{5}} = 10^3 = 1000$

Sett svaret x = 1000 inn i den opprinnelige ligningen og sjekk om det stemmer!

[Sjakk Matt]

Tusen takk:)

[jos]

Med ettertankens kranke blekhet innser jeg at det var en helt unødig komplisert løsningsvei jeg foreslo i mitt forrige innlegg. Vi har:

$2lgx + 3lgx = 15$
$5lgx = 15$
$lgx = 3$
$x = 1000$

På den annen side kan man jo hevde at en liten øvelse i ulike regneregler for logaritmer i seg selv er nyttig!