Side 1 av 2
Potensregneregel / nåverdi
Lagt inn: 28/11-2022 21:13
av Jaques
Hei
Dersom beløpet 500 kr er inkludert avdrag og 2% renter:
Hvorfor "fjerner" man rentene ved å ta 500 delt på 1,02? Kan noen forklare dette og evt. vise rent regneteknisk?
Re: Potensregneregel / nåverdi
Lagt inn: 28/11-2022 22:44
av jos
Så vidt jeg skjønner er spørsmmålet: Hva er nåverdien av 500kr om et år når rentesatsen er 2 prosent? Nåverdien vil da være hva man må sette i banken i dag for ved den gitte rentesatsen ha 500 kr i banken om et år. Vi får følgende likning.
N$\,* 1.02 = 500 => \,$N$\, = \frac{500}{1.02},\,$ Her er N nåverdi av terminbeløpet 500 som skal betales om et år.
Re: Potensregneregel / nåverdi
Lagt inn: 28/11-2022 23:09
av Jaques
jos skrev: ↑28/11-2022 22:44
Så vidt jeg skjønner er spørsmmålet: Hva er nåverdien av 500kr om et år når rentesatsen er 2 prosent? Nåverdien vil da være hva man må sette i banken i dag for ved den gitte rentesatsen ha 500 kr i banken om et år. Vi får følgende likning.
N<mjx-container class="MathJax CtxtMenu_Attached_0" jax="CHTML" tabindex="0" ctxtmenu_counter="2" style="font-size: 113.1%; position: relative;"><mjx-math class="MJX-TEX" aria-hidden="true"><mjx-mstyle><mjx-texatom texclass="ORD"><mjx-mstyle><mjx-mspace style="width: 0.167em;"></mjx-mspace></mjx-mstyle><mjx-mo class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c2217"></mjx-c></mjx-mo><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c><mjx-c class="mjx-c2E"></mjx-c><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c><mjx-c class="mjx-c32"></mjx-c></mjx-mn><mjx-mo class="mjx-n" space="4"><mjx-c class="mjx-c3D"></mjx-c></mjx-mo><mjx-mn class="mjx-n" space="4"><mjx-c class="mjx-c35"></mjx-c><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-mo class="mjx-n" space="4"><mjx-c class="mjx-c3D"></mjx-c><mjx-c class="mjx-c3E"></mjx-c></mjx-mo><mjx-mstyle><mjx-mspace style="width: 0.167em;"></mjx-mspace></mjx-mstyle></mjx-texatom></mjx-mstyle></mjx-math><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline"><math xmlns="
http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="0.167em"></mspace></mstyle><mo>∗</mo><mn>1.02</mn><mo>=</mo><mn>500</mn><mo>=></mo><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="0.167em"></mspace></mstyle></mrow></mstyle></math></mjx-assistive-mml></mjx-container>N<mjx-container class="MathJax CtxtMenu_Attached_0" jax="CHTML" tabindex="0" ctxtmenu_counter="3" style="font-size: 113.1%; position: relative;"><mjx-math class="MJX-TEX" aria-hidden="true"><mjx-mstyle><mjx-texatom texclass="ORD"><mjx-mstyle><mjx-mspace style="width: 0.167em;"></mjx-mspace></mjx-mstyle><mjx-mo class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c3D"></mjx-c></mjx-mo><mjx-mfrac space="4"><mjx-frac type="d"><mjx-num><mjx-nstrut type="d"></mjx-nstrut><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c35"></mjx-c><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn></mjx-num><mjx-dbox><mjx-dtable><mjx-line type="d"></mjx-line><mjx-row><mjx-den><mjx-dstrut type="d"></mjx-dstrut><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c><mjx-c class="mjx-c2E"></mjx-c><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c><mjx-c class="mjx-c32"></mjx-c></mjx-mn></mjx-den></mjx-row></mjx-dtable></mjx-dbox></mjx-frac></mjx-mfrac><mjx-mo class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c2C"></mjx-c></mjx-mo><mjx-mstyle><mjx-mspace style="width: 0.167em;"></mjx-mspace></mjx-mstyle></mjx-texatom></mjx-mstyle></mjx-math><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="inline"><math xmlns="
http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="0.167em"></mspace></mstyle><mo>=</mo><mfrac><mn>500</mn><mn>1.02</mn></mfrac><mo>,</mo><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="0.167em"></mspace></mstyle></mrow></mstyle></math></mjx-assistive-mml></mjx-container> Her er N nåverdi av terminbeløpet 500 som skal betales om et år.
Aha, skjønner!
Kan man si at nåverdi er det samme som avdrag?
Re: Potensregneregel / nåverdi
Lagt inn: 28/11-2022 23:22
av Jaques
Og en annen ting:
For å finne nåverdi, MÅ man da vite rente, antall terminer og terminbeløp?
Og for å finne terminbeløp, da MÅ man vite nåverdi, rente og antall terminer?
Siden vi har jo en formel for nåverdi, men den kan vi løse som likning der terminbeløp er ukjent, men da må man kjenne til andre opplysninger. Fins det andre måter enn denne formelen å finne det på?
Re: Potensregneregel / nåverdi
Lagt inn: 29/11-2022 15:45
av jos
I en typisk oppgave basert på temaet vil man f.eks. komme med følgende problemstilling: Kari skal låne 2 millioner kroner. Rentesatsen er 5%, og lånet skal nedbetales over 10 år og hvor første nedbetaling skjer etter 1 år. Lånet er et annuitetslån slik at terminalbeløpet er konstant. Hvor stort er dette beløpet som Kari må betale årlig i 10 år? Nåverdien til lånebeløpet som Kari får i dag, er det samme som lånebeløpet, altså 2 000 000 kroner. Å betale denne nåverdien tilbake over 10 år innebærer at summen av nåverdiene til de enkelte terminalbeløpene, innbetalingene, må være den samme som nåverdien til lånebeløpet, altså her 2 000 000 kroner.
Vi får følgende likning:
$2 000 000 = \frac{T}{ 1.05} + \frac{T}{ 1.05^2} + \cdot\,\cdot\, +\, \frac{T}{ 1.05^{10}}\,$ hvor $ T $ er det ukjente terminalbeløpet.
Likningen kan løses ved hjelp CAS. Vi kan også se at høyresiden er en geometrisk rekke hvor første ledd er $\frac{T}{ 1.05}$ og kvotienten $ k$ = $\frac{1}{ 1.05}$.
Re: Potensregneregel / nåverdi
Lagt inn: 30/11-2022 15:59
av Jaques
Aha, så summen av avdrag er lik nåverdi (lånebeløp)?
Kan da avdrag omtales som nåverdier, og terminbeløp som sluttverdier?
Re: Potensregneregel / nåverdi
Lagt inn: 30/11-2022 16:26
av jos
Ikke summen av avdragene, men summen av nåverdiene til avdragene vil væære lik lånebeløpet i dag.
Re: Potensregneregel / nåverdi
Lagt inn: 30/11-2022 16:33
av Jaques
jos skrev: ↑30/11-2022 16:26
Ikke summen av avdragene, men summen av nåverdiene til avdragene vil væære lik lånebeløpet i dag.
Ok, så da er avdrag en form for nåverdier, og terminbeløp en form for sluttverdi (siden her er renter inkl)?
Re: Potensregneregel / nåverdi
Lagt inn: 30/11-2022 16:38
av Jaques
Spurte foreleser om noe i dag som kanskje du vet svaret på?
Se de to bildene. Hvorfor er nåverdi av 3500 på slutten av år 1 og år 3 byttet plass på nedbetalingsplanen? Noe feil?
- CDDC3244-B1AF-4F7D-9254-DDE9474262A4.jpeg (8.18 MiB) Vist 2936 ganger
- A9EED556-D6B4-45A7-B589-89AE9FCD1684.jpeg (6.23 MiB) Vist 2936 ganger
Re: Potensregneregel / nåverdi
Lagt inn: 03/12-2022 15:48
av jos
Spurte foreleser om noe i dag som kanskje du vet svaret på?
Se de to bildene. Hvorfor er nåverdi av 3500 på slutten av år 1 og år 3 byttet plass på nedbetalingsplanen? Noe feil?
Jeg fikk ikke svart på dette spørsmålet. Nåverdiene har ikke byttet plass. Det er ikke noe feil i tabellen. Det bare synes slik for deg fordi du har antatt at avdrag og nåverdier av terminbeløp (innbetalinger hver termin) er det samme. Du kan selv forsikre deg om at tabellen over de tre avdragene gir korrekte tall.
Første avdrag er 3500 - 9900 * 0.03 = 3203.
Andre avdrag: 3500 - (9900 -3500 + 9900 * 0.03) * 0.03 = 3299.
Tredje avdrag: 3500 *1.03$^2$ - 9900 * 1.03$^2$ * 0.03 = 3398
Det som var overraskende, i hvert fall for meg, er som du har observert, at avdragene er nåverdiene i "omvendt rekkefølge". Og det viser seg at dette ikke er noen tilfeldighet for akkurat disse tallene.
Det er forholdsvis greit å vise følgende formel for $A_n\,$, det n´te avdraget:
$A_n = \frac{L_0(1 - v)* v^m}{1 - v^m} * v^{n - 1} - L_0 * v^{n - 1} * (v - 1)$
Her er $L_0$ det opprinnelige lånebeløpet, $v =\,$ vekstfaktoren og $m$ = antall terminer.
Uttrykket for $A_n$ kan forenkles til
$\frac{L_0 * v^{n - 1} * (1 - v)}{1 - v^m}$
Terminbeløpet T $= \frac{L_0 * (1 - v) * v^m}{1 - v^m}$
$\frac{A_n}{T} = \frac{v^{n-1}}{v^m} => A_n = \frac{T}{v^{m + 1 -n}}$
Her ser vi at ved å sette $n = m$ blir det siste avdraget det samme som nåverdien av det første terminbeløpet, og ved å sette $ n = 1$ blir det første avdraget nåverdien av det siste terminbeløpet. Ved $n = 2$ fås nåverdien av det nest siste terminbeløpet, og slik kan man fortsette oppover til $n = m$.
Avdragene blir altså nåverdiene i "omvendt rekkefølge".
Re: Potensregneregel / nåverdi
Lagt inn: 04/12-2022 15:18
av Jaques
Se der ja, interessant - tusen takk.
Hvordan ville du forklart med ord at avdrag og nåverdi blir i motsatt rekkefølge (altså hvorfor)?
Re: Potensregneregel / nåverdi
Lagt inn: 05/12-2022 14:38
av jos
Jeg vet ikke om jeg greier å forklare dette bedre enn å vise til formelen $A_n = \frac{T}{v^{m+1-n}}$. Den forteller jo direkte at avdrag nr. n er nåverdien til T for termin m + 1 - n. Altså hvis f.eks. n = 3, og antall teminer, m =10, vil det tredje avdraget være det samme som nåverdien til terminbeløp nr 10 + 1 -3 = 8, som er terminbeløp nr. 3 regnet bakfra. Generelt vil avdrag nr.n være nåverdien til terminbeløp m - (m + 1 - n) + 1 = n regnet bakfra. Denne sammnehengen melllom avdrag og nåverdier sikrer også at summen av nåverdiene er lik summen av avdragene som er lik det opprinnelige lånebeløpet.
Re: Potensregneregel / nåverdi
Lagt inn: 05/12-2022 14:57
av Jaques
jos skrev: ↑05/12-2022 14:38
Jeg vet ikke om jeg greier å forklare dette bedre enn å vise til formelen $A_n = \frac{T}{v^{m+1-n}}$. Den forteller jo direkte at avdrag nr. n er nåverdien til T for termin m + 1 - n. Altså hvis f.eks. n = 3, og antall teminer, m =10, vil det tredje avdraget være det samme som nåverdien til terminbeløp nr 10 + 1 -3 = 8, som er terminbeløp nr. 3 regnet bakfra. Generelt vil avdrag nr.n være nåverdien til terminbeløp m - (m + 1 - n) + 1 = n regnet bakfra. Denne sammnehengen melllom avdrag og nåverdier sikrer også at summen av nåverdiene er lik summen av avdragene som er lik det opprinnelige lånebeløpet.
Ser den, gir mening. Hvis du tenker nåverdien i termin 2 (3500 delt på 1,03 opphøyd i andre) - er dette nåverdi i termin 2, eller nåverdien I DAG for år 2?
Re: Potensregneregel / nåverdi
Lagt inn: 05/12-2022 19:50
av jos
Nåverdien regnes her fra det tidspunktet man får lånet. Så hvis første innbetaling, første terminbeløp, skjer om ett år, så er nåverdien av denne tilbakebetalingen $\frac{T}{1.03}$. Nåverdien av terminbløp nr. 2 = $\frac{T}{1.03^2}$.
Re: Potensregneregel / nåverdi
Lagt inn: 05/12-2022 19:57
av Jaques
jos skrev: ↑05/12-2022 19:50
Nåverdien regnes her fra det tidspunktet man får lånet. Så hvis første innbetaling, første terminbeløp, skjer om ett år, så er nåverdien av denne tilbakebetalingen $\frac{T}{1.03}$. Nåverdien av terminbløp nr. 2 = $\frac{T}{1.03^2}$.
Skjønner, så 1500/1,03^2 er nåverdien til terminbeløp nr. 2 den dag i dag?