matematikk.net

Hei!

Skjønner ikke hvordan denne oppgave 2.219, i Sinus R1 for LK20, skal løses.

Snødybden i centimeter x dager etter 31. desember er gitt ved:

[tex]S(x) = 40 + \frac{160x^2}{x^2+48}, x\in[0,20][/tex]

Hvilken dag falt det mest snø, og hvor mye falt det denne dagen?

I utgangspunktet ville jeg derivert denne to ganger, funnet nullpunkter, og sjekket om disse svarte til toppunkter eller bunnpunkter i den deriverte.
Den høyeste verdien til den deriverte er det vi ser etter (som da enten finnes i et toppunkt eller i et av endepunktene).

Problemet er at denne oppgaven skal løses uten hjelpemidler. S(x) er nasty å derivere / dobbelderivere, og i tillegg er ikke kvotientregelen (for derivering av brøker) gjennomgått enda. Den dukker ikke opp før i neste kapittel.

Hvordan er det egentlig ment at man skal løse denne?

Hei, jeg vet ikke hvordan du egentlig skal løse oppgaven, men jeg hadde tenkt at du kunne brukt grenseverdi her.

La oss se på funksjonen: [tex]40[/tex] løfter funksjonen 40 enheter oppover på [tex]y[/tex]-aksen. [tex]160[/tex] skalerer [tex]\frac{x^2}{x^2+48}[/tex]. Vi trenger kun å se på [tex]\frac{x^2}{x^2+48}[/tex] hvis vi vil finne ev. toppunkter.

Siden du har fått intervallet [tex]x\in [0,20][/tex] så er det naturlig å tenke hva som skjer når [tex]\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2+48}[/tex]. Vi ser at telleren blir 0 og nevner 48, altså [tex]\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2+48} = \frac{0^2}{0^2+48} = 0[/tex]. Siden både teller og nevner er positive for alle [tex]x[/tex] så må [tex]S(x) \geq 40[/tex]. [tex]S(0) = 40[/tex] vil derfor enten være et bunnpunkt eller så er [tex]S(x)[/tex] konstant.

Jeg vet ikke hvor nøye du må være på å vise at det ikke kan være noen topptunkter i [tex]x \in [0,20][/tex], men du kan f.eks. argumentere for at funksjonen er strengt voksende (og en strengt voksende funksjon kan jo ikke ha noen topp). I tillegg er [tex]\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2+48} = 1[/tex]. Maksverdi finner du i hvert fall i randen av intervallet ditt, ved [tex]x=20[/tex].

Supert hvis noen R1-lærere kan supplere eller komme innspill også.

Problemet med ditt forslag er at oppgaven spør etter hvilken dag det falt mest snø. Funksjonen S(x) angir snødybden etter x dager. $S_{max}$ angir den maksimale snødybden i løpet av de 20 dagene, ikke hvilken dag det snør mest. For å finne den dagen må man finne når den deriverte av S eventuelt har et maksimum i intervallet [0,20]. Man kan unngå å bruke den vanlige formelen for å derivere en brøk ved å skrive $\frac{u}{v} = u * \frac{1}{v} = u * v^{-1}$ og bruke regelen for å derivere et produkt samt regelen for å derivere et potensuttrykk, her $v^{-1}.$

Godt tips å bruke produktregelen istedet for kvotientregelen! Tallene i oppgaven er allikevel så høye at det blir ganske mye knotete hoderegning / mellomregning på papir for å løse oppgaven på denne måten. Det får meg til å mistenke at den fremgangsmåten mest sannsynlig er feil? Ingen andre oppgaver i 1T eller R1 boken har vært krevende på den måten. Hvis jeg ikke har misforstått helt, så er "uten hjelpermidler" delen også uten enkel kalkulator på R1 eksamen.

I dagens matematikkopplæring er det ein sedvanleg regel at oppgaver som krev mykje ( kjedeleg ) reknearbeid løysast med Geogebra eller andre digitale hjelpemiddel.
Etter at eksamen blei todelt , er det heilt uaktuelt å løyse " the problem in question" for hand , dvs. denne oppgavetypen høyrer heime under Del II ( alle hjelpemiddel ).

Det er ikke nødvendig å regne ut alle produkter for å løse oppgaven.

$S(x) = 40 + \frac{160x^2}{x^2 + 48}\,$

$S´(x) = (160x^2 * (x^2 +48)^{-1})´=320x * (x^2 + 48)^{-1} $+

$160x^2 * -(x^2 + 48)^{-2} * 2x = \frac{320x}{x^2 + 48} - \frac{320x^3}{(x^2 + 48)^2} = \frac{320*48x}{(x^2 +
48)^2}$

$S´´(x) = 320*48 * (x^2 + 48)^{-2} + 320 * 48 x * (-2)*(x^2 + 48)^{-3} *2x = $


$(320 * 48)* \frac{1}{(x^2 + 48)^2} - \frac{4x^2}{(x^2 + 48)^3} = \frac{320*48 (x^2 + 48 -4x^2)}{(x^2 + 48)^3} =

\frac{320*48(48 -3x^2)}{(8x^2 + 48)^3}$

$S´´$slår om fra + til - for x = 4, altså $S´_{max}$ for x = 4.

jos skrev: ↑29/09-2022 23:46 Problemet med ditt forslag er at oppgaven spør etter hvilken dag det falt mest snø. Funksjonen S(x) angir snødybden etter x dager. $S_{max}$ angir den maksimale snødybden i løpet av de 20 dagene, ikke hvilken dag det snør mest. For å finne den dagen må man finne når den deriverte av S eventuelt har et maksimum i intervallet [0,20]. Man kan unngå å bruke den vanlige formelen for å derivere en brøk ved å skrive $\frac{u}{v} = u * \frac{1}{v} = u * v^{-1}$ og bruke regelen for å derivere et produkt samt regelen for å derivere et potensuttrykk, her $v^{-1}.$

Takk! Må lese oppgaveteksten neste gang