matematikk.net

En funksjon [tex]f[/tex] er gitt ved [tex]f(x) = x + cos2x[/tex] hvor [tex]0< x < 2\pi[/tex]

a) Finn ekstremalpunktene til f uten bruk av digitalt hjelpemiddel


Arbeid:
[tex]f(x) = x + cos2x[/tex]
[tex]f'(x) = 1 - 2sin(2x)[/tex]
[tex]f'(x) = 0[/tex]
[tex]1 -2sin(2x) = 0[/tex]
[tex]sin(2x) = \frac{1}{2}[/tex]
Funksjonen sinx er positiv for første og andre kvadrant. I første kvadrant er det [tex]30^\circ[/tex], og i andre så er det [tex] 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ[/tex] .
Første Kvadrant: [tex]x = \frac{\pi}{12} + n\pi[/tex] [tex] \wedge [/tex] Andre Kvadrant: [tex]x = \frac{5\pi}{12} + n\pi[/tex]
[tex]0<\frac{\pi}{12} + n\pi<2\pi [/tex] hvor [tex]n \in \mathbb{Z}[/tex]
[tex]= -\frac{1}{12} < n < \frac{23}{12}[/tex] hvor [tex]n \in \mathbb{Z}[/tex]
[tex]n \in \{0,1\}[/tex]
og
[tex]0< \frac{5\pi}{12} + n\pi<2\pi [/tex] hvor [tex]n \in \mathbb{Z}[/tex]
[tex]= -\frac{5}{12} < n < \frac{19}{12}[/tex] hvor [tex]n \in \mathbb{Z}[/tex]
[tex]n \in \{0,1\}[/tex]

Jeg får dog løsningene [tex]x \in \{\frac{\pi}{12},\frac{13\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}\}[/tex]

SOM ER RIKTIG!

Men denne metoden er slitsom; dermed lurer jeg på om det er andre metoder som er mye mer lettere en det jeg har gjort her. Boken viser ikke så mye til dette...

Jeg er enig i at metoden er slitsom, men jeg vil si du har funnet den beste metoden, og enda viktigere; du ser ut til å ha forstått den.

Trig-likninger er et emne mange sliter med, og det jeg prøver å få alle til å forstå er nøyaktig det du har gjort. Nemlig å redusere likninga til $$\sin(2x) = \frac12 \quad \Rightarrow \quad 2x = \frac\pi6 \ 2\pi n \vee 2x = \frac{5\pi}6 + 2\pi n$$ og derfra lære å kjenne igjen at det ikke er en trig-likning lengre. Bare to vanlige likninger som kan løses for $x$.

Så i min mening, gitt at oppgaven eksplisitt skal løses UTEN hjelpemidler, så syns jeg du har gjort det beste man kan forvente.