Oppgave 3.66 a) Sinus R2 S.124

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
Heraclitus
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 8
Registrert: 19/08-2021 22:43

En funksjon [tex]f[/tex] er gitt ved [tex]f(x) = x + cos2x[/tex] hvor [tex]0< x < 2\pi[/tex]

a) Finn ekstremalpunktene til f uten bruk av digitalt hjelpemiddel


Arbeid:
[tex]f(x) = x + cos2x[/tex]
[tex]f'(x) = 1 - 2sin(2x)[/tex]
[tex]f'(x) = 0[/tex]
[tex]1 -2sin(2x) = 0[/tex]
[tex]sin(2x) = \frac{1}{2}[/tex]
Funksjonen sinx er positiv for første og andre kvadrant. I første kvadrant er det [tex]30^\circ[/tex], og i andre så er det [tex] 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ[/tex] .
Første Kvadrant: [tex]x = \frac{\pi}{12} + n\pi[/tex] [tex] \wedge [/tex] Andre Kvadrant: [tex]x = \frac{5\pi}{12} + n\pi[/tex]
[tex]0<\frac{\pi}{12} + n\pi<2\pi [/tex] hvor [tex]n \in \mathbb{Z}[/tex]
[tex]= -\frac{1}{12} < n < \frac{23}{12}[/tex] hvor [tex]n \in \mathbb{Z}[/tex]
[tex]n \in \{0,1\}[/tex]
og
[tex]0< \frac{5\pi}{12} + n\pi<2\pi [/tex] hvor [tex]n \in \mathbb{Z}[/tex]
[tex]= -\frac{5}{12} < n < \frac{19}{12}[/tex] hvor [tex]n \in \mathbb{Z}[/tex]
[tex]n \in \{0,1\}[/tex]

Jeg får dog løsningene [tex]x \in \{\frac{\pi}{12},\frac{13\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}\}[/tex]

SOM ER RIKTIG!

Men denne metoden er slitsom; dermed lurer jeg på om det er andre metoder som er mye mer lettere en det jeg har gjort her. Boken viser ikke så mye til dette...
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Jeg er enig i at metoden er slitsom, men jeg vil si du har funnet den beste metoden, og enda viktigere; du ser ut til å ha forstått den.

Trig-likninger er et emne mange sliter med, og det jeg prøver å få alle til å forstå er nøyaktig det du har gjort. Nemlig å redusere likninga til $$\sin(2x) = \frac12 \quad \Rightarrow \quad 2x = \frac\pi6 \ 2\pi n \vee 2x = \frac{5\pi}6 + 2\pi n$$ og derfra lære å kjenne igjen at det ikke er en trig-likning lengre. Bare to vanlige likninger som kan løses for $x$.

Så i min mening, gitt at oppgaven eksplisitt skal løses UTEN hjelpemidler, så syns jeg du har gjort det beste man kan forvente.
Bilde
Svar