Hei. På mattetentamen i år (1T) fikk jeg en oppgave som var formulert på denne måten:
Bestem k slik at likningen har nøyaktig èn løsning:
x^2/k -4x+k+1=0
Svaret i fasiten var 1/3, men jeg så også en annen mulig løsning på oppgaven. Om jeg setter k=x, blir utrykket gjort om fra andre til første grad, og vil alltid ha èn løsning. Min lærer mener dette er feil, men kunne ikke forklare hvorfor. Hva tenker dere?
Alternativt svar på oppgave
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Cantor
- Innlegg: 148
- Registrert: 19/11-2021 02:26
- Sted: Oslo
- Kontakt:
På hvilken grunnlag skal du sette K=x? Men la oss anta at det skal funke da må vi bevise det
\begin{aligned}\dfrac{1}{k}x^{2}-4x+k+1=0\\
k=x\\
\dfrac{1}{k}\cdot k^{2}-4\cdot k+k+1=0\\
k-3k+1=0\\
-2k+1=0\\
k=\dfrac{1}{2}\\
2x^{2}-4x+\dfrac{1}{2}+1=0\\
2x^{2}-4x+\dfrac{3}{2}=0\\
4x^{2}-8x+3=0\\
b^{2}-4ac=\left( -8\right) ^{2}-4\cdot 4\cdot 3\\
=64-48=18\neq 0\end{aligned}
Utrykket under kvadratrot er ikke null så ligningen har ikke bare en løsning. Så det du gjorde var ikke riktig .
For at en andregradsligning skal ha bare én løsning må utrykket underkvadratrot være lik null
\begin{aligned}b^{2}-4a\cdot c=0\\
\left( -4\right) ^{2}-4\cdot \dfrac{1}{k}\cdot \left( k+1\right) =0\\
16=4\cdot \dfrac{1}{k}\left( k+1\right) \\
4=\dfrac{1}{k}\left( k+1\right) \\
4k=k+1\\
k=\dfrac{1}{3}\end{aligned}
\begin{aligned}\dfrac{1}{k}x^{2}-4x+k+1=0\\
k=x\\
\dfrac{1}{k}\cdot k^{2}-4\cdot k+k+1=0\\
k-3k+1=0\\
-2k+1=0\\
k=\dfrac{1}{2}\\
2x^{2}-4x+\dfrac{1}{2}+1=0\\
2x^{2}-4x+\dfrac{3}{2}=0\\
4x^{2}-8x+3=0\\
b^{2}-4ac=\left( -8\right) ^{2}-4\cdot 4\cdot 3\\
=64-48=18\neq 0\end{aligned}
Utrykket under kvadratrot er ikke null så ligningen har ikke bare en løsning. Så det du gjorde var ikke riktig .
For at en andregradsligning skal ha bare én løsning må utrykket underkvadratrot være lik null
\begin{aligned}b^{2}-4a\cdot c=0\\
\left( -4\right) ^{2}-4\cdot \dfrac{1}{k}\cdot \left( k+1\right) =0\\
16=4\cdot \dfrac{1}{k}\left( k+1\right) \\
4=\dfrac{1}{k}\left( k+1\right) \\
4k=k+1\\
k=\dfrac{1}{3}\end{aligned}
Sist redigert av SpreVitenskapVidere den 03/06-2022 23:11, redigert 2 ganger totalt.
Livet er et kaotisk system, og vi kan ikke forutsi det i mer enn noen få sekunder. Så nyt livet ditt med å være omsorgsfull og delende.
Farhan
Farhan
En slurvefeil mellom disse to linjene. $\frac1k = 2$.SpreVitenskapVidere skrev: ↑03/06-2022 21:24 På hvilken grunnlag skal du sette K=x? Men la oss anta at det skal funke da må vi bevise det
\begin{aligned}
k=\dfrac{1}{2}\\
\dfrac{1}{2}x^{2}-4x+\dfrac{1}{2}+1=0\end{aligned}
Men prinsippet holder. Likninga får to løsninger og $k=x$ blir dermed feil likevel.
-
- Cantor
- Innlegg: 148
- Registrert: 19/11-2021 02:26
- Sted: Oslo
- Kontakt:
Takk for tilbakemelding . Har fikset det nåAleks855 skrev: ↑03/06-2022 22:30En slurvefeil mellom disse to linjene. $\frac1k = 2$.SpreVitenskapVidere skrev: ↑03/06-2022 21:24 På hvilken grunnlag skal du sette K=x? Men la oss anta at det skal funke da må vi bevise det
\begin{aligned}
k=\dfrac{1}{2}\\
\dfrac{1}{2}x^{2}-4x+\dfrac{1}{2}+1=0\end{aligned}
Men prinsippet holder. Likninga får to løsninger og $k=x$ blir dermed feil likevel.
Livet er et kaotisk system, og vi kan ikke forutsi det i mer enn noen få sekunder. Så nyt livet ditt med å være omsorgsfull og delende.
Farhan
Farhan