matematikk.net

Hei. På mattetentamen i år (1T) fikk jeg en oppgave som var formulert på denne måten:

Bestem k slik at likningen har nøyaktig èn løsning:

x^2/k -4x+k+1=0

Svaret i fasiten var 1/3, men jeg så også en annen mulig løsning på oppgaven. Om jeg setter k=x, blir utrykket gjort om fra andre til første grad, og vil alltid ha èn løsning. Min lærer mener dette er feil, men kunne ikke forklare hvorfor. Hva tenker dere?

På hvilken grunnlag skal du sette K=x? Men la oss anta at det skal funke da må vi bevise det

\begin{aligned}\dfrac{1}{k}x^{2}-4x+k+1=0\\
k=x\\
\dfrac{1}{k}\cdot k^{2}-4\cdot k+k+1=0\\
k-3k+1=0\\
-2k+1=0\\
k=\dfrac{1}{2}\\
2x^{2}-4x+\dfrac{1}{2}+1=0\\
2x^{2}-4x+\dfrac{3}{2}=0\\
4x^{2}-8x+3=0\\
b^{2}-4ac=\left( -8\right) ^{2}-4\cdot 4\cdot 3\\
=64-48=18\neq 0\end{aligned}

Utrykket under kvadratrot er ikke null så ligningen har ikke bare en løsning. Så det du gjorde var ikke riktig .
For at en andregradsligning skal ha bare én løsning må utrykket underkvadratrot være lik null
\begin{aligned}b^{2}-4a\cdot c=0\\
\left( -4\right) ^{2}-4\cdot \dfrac{1}{k}\cdot \left( k+1\right) =0\\
16=4\cdot \dfrac{1}{k}\left( k+1\right) \\
4=\dfrac{1}{k}\left( k+1\right) \\
4k=k+1\\
k=\dfrac{1}{3}\end{aligned}

SpreVitenskapVidere skrev: ↑03/06-2022 21:24 På hvilken grunnlag skal du sette K=x? Men la oss anta at det skal funke da må vi bevise det
\begin{aligned}
k=\dfrac{1}{2}\\
\dfrac{1}{2}x^{2}-4x+\dfrac{1}{2}+1=0\end{aligned}

En slurvefeil mellom disse to linjene. $\frac1k = 2$.

Men prinsippet holder. Likninga får to løsninger og $k=x$ blir dermed feil likevel.

Aleks855 skrev: ↑03/06-2022 22:30

SpreVitenskapVidere skrev: ↑03/06-2022 21:24 På hvilken grunnlag skal du sette K=x? Men la oss anta at det skal funke da må vi bevise det
\begin{aligned}
k=\dfrac{1}{2}\\
\dfrac{1}{2}x^{2}-4x+\dfrac{1}{2}+1=0\end{aligned}

En slurvefeil mellom disse to linjene. $\frac1k = 2$.

Men prinsippet holder. Likninga får to løsninger og $k=x$ blir dermed feil likevel.

Takk for tilbakemelding . Har fikset det nå