matematikk.net

I et koordinatsystem med enheten meter på begge aksene har vi plassert den vertikale snittflaten av en tunnel. Snittflaten er avgrenset av x-aksen og grafen til funksjonen f gitt ved f(x)= -4/25 x^2+4. Tunnelen er helt rett og 240 m lang. Grafen går fra -5 til 5.
a) finn arealet av snittflaten
b) finn volumet av tunnelen

Jeg fikk til a) etter mye feiling, det som ble riktig var å integrere f(x) og sette inn fra 5 til -5. MEN, da har jeg integrert f(x) og ikke f(x)^2, slik jeg trodde jeg skulle. Hvorfor ble det feil å opphøye funksjonsuttrykket her? Formelen for areal av snittflate sier jo (f(x)^2).

Her " blandar du korta " . f( x )[tex]^{2}[/tex] , saman med [tex]\pi[/tex]-faktoren , refererer til eit omdreiingslegeme der snittflata er ein sirkel.

Ja, jeg blander nok noe her, men jeg forstår ikke helt hva jeg skal bruke når. Jeg trodde at jeg kunne opphøye f(x) i andre og finne arealet av snittflaten, og så finne volumet ved å integrere f(x)^2 og sette inn x-verdiene?

OBS ! Snittflata kjem fram når vi legg eit plan vinkelrett lengderetninga på tunnelen. Grafen som avgrensar snittflata er gitt ved funksjonen

f( x ) = -[tex]\frac{4}{25}[/tex]x[tex]^{2}[/tex] + 4 , x[tex]\in[/tex] [ -5 , 5 ]

Denne funksjonen framstiler ein parabel med toppunkt ( ikkje ein sirkel ).

Arealet( A ) av snittflata blir da det same som arealet mellom grafen til f og x-aksen frå -5 til +5 . Dermed får vi at arealet

A = [tex]\int_{-5}^{5}[/tex] f( x ) dx

Volumet V ( målt i m[tex]^{3}[/tex] ) = Arealet( A )( målt i m[tex]^{2}[/tex] ) [tex]\cdot[/tex] lengda på tunnelen ( målt i meter( m ) )

Hugs at snittflata har same arealet ( A ) gjennom heile tunnelen.