Vektor oppgave - avstanden fra punkt til en linje

[Louise_S]

Hei,
jeg har en vektor oppgave som sier følgende:
FInn avstanden fra punktet P(2,8) til linja som går gjennom punktene A(1,1) og B(9,7)

Jeg skjønner ikke hvordan jeg skal komme fram til svaret her. Jeg har prøvd å finne parameterframstillingen, og så retningsvektoren og deretter vektoren PA og deretter lengden av denne. Jeg får noe helt annet til svar.
Må jeg finne et punkt C på linjen slik at PC står vinkelrett på linja?

Fasit: 5

Takk på forhånd:)

[SveinR]

Må jeg finne et punkt C på linjen slik at PC står vinkelrett på linja?

Stemmer - det er dette som vil bli den korteste avstanden fra linja til punktet.

[Janhaa]

Hei,
jeg har en vektor oppgave som sier følgende:
FInn avstanden fra punktet P(2,8) til linja som går gjennom punktene A(1,1) og B(9,7)

Jeg skjønner ikke hvordan jeg skal komme fram til svaret her. Jeg har prøvd å finne parameterframstillingen, og så retningsvektoren og deretter vektoren PA og deretter lengden av denne. Jeg får noe helt annet til svar.
Må jeg finne et punkt C på linjen slik at PC står vinkelrett på linja?

Fasit: 5

Takk på forhånd:)

Jeg kladda den raskt til å være distance, d, lik 5.
Rett?!

[Janhaa]

Hei,
jeg har en vektor oppgave som sier følgende:
FInn avstanden fra punktet P(2,8) til linja som går gjennom punktene A(1,1) og B(9,7)

Jeg skjønner ikke hvordan jeg skal komme fram til svaret her. Jeg har prøvd å finne parameterframstillingen, og så retningsvektoren og deretter vektoren PA og deretter lengden av denne. Jeg får noe helt annet til svar.
Må jeg finne et punkt C på linjen slik at PC står vinkelrett på linja?

Fasit: 5

Takk på forhånd:)

Avstanden, d= 5

Jeg kladda den raskt til å være distance, d, lik 5.
Rett?!

Legger inn ett alternativt løsningsforslag;
Sjekk bildet,

07F5CBEF-B06D-4534-A97C-CE2123C2EE8B.jpeg (4.03 MiB) Vist 7465 ganger

[Mattebruker]

Interessant oppgave !

Problemet kan løysast på minst to måtar:

Metode I : Tradisjonell plangeometri

i) Finn først likninga for den rette linja:

Stigningstalet a = [tex]\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}[/tex] = [tex]\frac{7 - 1}{9 - 1}[/tex] = [tex]\frac{6}{8}[/tex] = [tex]\frac{3}{4}[/tex]

Eittpunktsformelen gir y - 1 = [tex]\frac{3}{4}[/tex]( x - 1 ) [tex]\Leftrightarrow[/tex] y = [tex]\frac{3}{4}[/tex]x + [tex]\frac{1}{4}[/tex]

Skrive deretter likninga på forma a x + by + c = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] 3x - 4y + 1 = 0

No kan vi lett finne avstanden( d ) frå punktet P[tex]_{1}[/tex]( 2 , 8 ) ved å bruke ein ferdig formel som gjeld for punkt i planet:

d = [tex]\frac{\left | a x_{1} + b y_{1} + c \right |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}[/tex] = [tex]\frac{\left | 3\cdot 2 -4\cdot 8 +1 \right |}{\sqrt{(3^{2} +(-4)^{2}))}}[/tex] = [tex]\frac{25}{5}[/tex] = 5

Alternativ II: Vektorgeometri

La P[tex]_{0}[/tex]( x[tex]_{0}[/tex], y[tex]_{0}[/tex] ) vere fotpunktet for normalen frå P[tex]_{1}[/tex]( 2 , 8 ) ned på linja som går gjennom punkta ( 1 , 1 ) og ( 7 , 9 )
Da kan vi bruke denne løysingstrategien:

i) Den rette linja har retningsvektor [tex]\overrightarrow{r}[/tex] = [ 3 , 4 ] ( jamfør utrekning ovanfor )

ii) Stille opp ei parameterframstilling for den rette linja: [ x , y ] = [ 3 t + 1 , 4 t +1 ]

iii) Lat ( x[tex]_{0}[/tex], y[tex]_{0}[/tex] ) = ( 3 t + 1 , 4 t + 1 ) vere koordinatane til fotpunktet P[tex]_{0}[/tex]

iv) Finne t-verdien som "matcher" punktet P[tex]_{0}[/tex]:

[tex]\overrightarrow{P_{0}P_{1}}[/tex] [tex]\cdot[/tex] [tex]\overrightarrow{r}[/tex] = 0 ( vektorane står vinkelrett på kvarandre )

v) No kjenner vi koordinatane til fotp. P[tex]_{0}[/tex]. Da står det berre att å finne

avstanden d = [tex]\left | \overrightarrow{P_{0}P_{1}} \right |[/tex], og vi er i mål.

[Louise_S]

Hvordan fant du parameterfremstillingen?

[Janhaa]

Hvordan fant du parameterfremstillingen?

Retningsvektor + pkt (1,1)

r = [6,8] = 2[3,4]

Og punktet (1, 1)

[Louise_S]

Dette er det jeg gjør:
1. Finner parameterfremstillingen:
AB=(9-1, 7-1)=(8,6)
OC= OA+AB*t = (1,1) + (8t,6t) = (1+8t, 1+6t)

Da vet vi at retningsvektoren er V=(8,6). Da får vi:
PC=PA+t*v =(-1+8t, -7+6t)

Hvis PC er vinkelrett med v må skalarproduktet være lik null:
(-1+8t, -7+6t)* (8,6)
100t=50
t=1/2

Setter inn 1/2 PC og får (5,-4)

Lengden av PC er kvadratroten av 5^2+(-4)^2 = 6,4

Jeg har gjort noe feil her:(...

[Mattebruker]

Beklager feil på retningsvektor alternativ II ! Forholdet mellom andre- og førstekoordinaten til [tex]\overrightarrow{r}[/tex] speglar stigninga til den rette linja, dvs.

[tex]\overrightarrow{r}[/tex] = [ 4 , 3 ] , ikkje [ 3 , 4 ] slik eg kom til å skrive i mitt l. forslag.

Du har sjølvsagt heilt rett når du skriv [tex]\overrightarrow{r}[/tex] = [ 8 , 6 ]

I di løysing opererer du med tre punkt A , B og C.

Vis meg koordinatane til desse punkta. Då blir det lettare å følgje resonnementet ditt.

[Louise_S]

P(2,8)
A(1,1)
B(9,7)

Tenkte slik

[Mattebruker]

Flott ! Dette var ein klar , tydeleg og informativ figur.

Punktet C er fotp. for normalen frå P ned på den rette linja.

Då C ligg på linja, kan vi skrive C( 4 t + 1 , 3 t + 1 ) . Vidare har vi


CP-vektor = [2 - ( 4 t +1 ) , 8 - ( 3 t +1 ) = [-4 t +1 , -3 t + 7 ]

Finn t-verdien som svarar til punktet C.

CP-vektor [tex]\cdot[/tex] r-vektor = 0 ( vektorane står vinkelrett på kvarandre )

Ser du vegen vidare ?

[Mattebruker]

Vil nok ein gong framheve den informative figuren du presenterte i forrige innlegget ditt.
Når vi studerer denne litt nærmare, ser vi at det aktuelle problemet kan løysast gjennom ein enkel figuranalyse:
Ser lett at [tex]\bigtriangleup[/tex]ABP er likebeina( AP = BP = [tex]\sqrt{50}[/tex] ). Det betyr at PC ligg på midtnormalen til AB = [tex]\sqrt{8^{2} + 6^{2}}[/tex] = 10
Altså er avstanden CP = [tex]\sqrt{(AP)^{2} - (AC)^{2}}[/tex] = [tex]\sqrt{(\sqrt{50})^{2} -5^{2}}[/tex] = [tex]\sqrt{25}[/tex] = 5

[Louise_S]

Åja ok.
Jeg løser den slik:

Finner paramererfremstillingen til linja l ved å ta ungangspunktet i et punkt S(x,y) på linja:
AB=(8,6)
AP=AB*t
OS=OA+AB*t =(8t+1,6t+1)

Retningsvektoren til linja l: r=(8,6)
Retningsvektoren til linja m: n=(-6,8)

Parameterfremstillingen til m: x=2-6s, y=8+8s

Setter inn t=1/8-6s/8 i:
6t+1=8+8s => 6+8-64=64s+36s => 100t=-50 => s=-1/2

Setter inn s i x og y:
x=2-6(-1/2)=5
y=8+8(-1/2)=4

S=(5,4)

PS=(5-2,4-8)=(3,-4)
┃PS┃= roten av (3^2+(-4)^2)= 5

Tusen takk for all hjelpen!

[Mattebruker]

Heilt korrekt løysing !
Tillet meg likevel å fullføre den løysinga eg starta på i mitt nest siste innlegg:

Parameterframst. for linja l gjennom A og B: [ x , y ] = [4 t +1 , 3 t+1 ]

Då C ligg på l , kan vi skrive C(4 t + 1 , 3 t + 1 ). Vidare har vi

CP-vektor = [2 - (4t + 1), 8 - (3t+1 ) ] = [ -4 t +1 , -3 t + 7 ]

Finn t-verdien som gir punktet C :

CP-vektor [tex]\cdot[/tex] r[tex]_{l}[/tex]-vektor = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [-4 t + 1, -3t + 7] [tex]\cdot[/tex] [4 , 3 ] = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex]

(- 4 t + 1 )[tex]\cdot[/tex] 4 + ( -3 t + 7 )[tex]\cdot[/tex] 3 = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] -16 t + 4 - 9 t + 21 = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] -25 t + 25 = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] t = 1

t = 1 gir CP-vektor = [ -4 [tex]\cdot[/tex]1 +1 , -3 [tex]\cdot 1[/tex] +7 ] = [ -3 , 4 ] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\left | CP-vektor \right |[/tex] = [tex]\sqrt{(-3)^{2} + 4^{2}}[/tex] = 5

[Louise_S]

Tusen hjertlig takk for hjelpen!