matematikk.net

Jeg har fått oppgitt dette likningssystemet:

(1) x^2+y^2=4
(2) x^2+y=k

Så skal jeg bestemme antall løsninger for ulike verdier av k.

Jeg brukte GeoGebra for å løse oppgaven. Da satte jeg inn likningssystemet, og brukte glideren (k) til å se med øyemål når det var en, to, tre eller fire løsninger. Dette var greit nok. Men lurer på hvordan jeg kunne løst oppgaven algebraisk. (Hvordan finner jeg k verdien for når likningssettet har ingen løsning, og når den har 1,2,3 og 4 løsninger)

Setter stor pris på hjelp:)

\begin{align}
&\left( 1\right) x^{2}+y^{2}=4\\
&\left( 2\right) x^{2}+y=k\\
&\left( 2\right) ,x^{2}=k-y\\
&\left( 1\right) k-y+y^{2}=4\\
& y^{2}-y+k-4=0\\
& y_{1,2}=\dfrac{+1\pm \sqrt{\left( -1\right) ^{2}-4\cdot 1\cdot \left( k-4\right) }}{2\cdot 1}=\dfrac{1\pm \sqrt{1-4k+16}}{2}=\dfrac{1\pm \sqrt{17-4k}}{2}
\end{align}

Hvis utrykket under kvadratroten er mindre enn null har ligningen ingen løsning siden det finnes ikke kvadratrot for negative tall
\begin{align}
&17-4k <0\Rightarrow 17 <4k\\
&\dfrac{17}{4} <k\Rightarrow k >\dfrac{17}{4}\end{align}
Hvis utrykket under kvadratroten er 0 så har ligningen to lønininger
\begin{align}
& 17-4k=0\Rightarrow 17=4k\Rightarrow k=\dfrac{17}{4}\\
& y_{1,2}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \left( 2\right) ,x^{2}=k-y=\dfrac{17}{4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{15}{4}\Rightarrow x^{2}=\dfrac{15}{4}\\
& x=\pm \sqrt{\dfrac{15}{4}}=\pm \dfrac{\sqrt{15}}{2}\\
&\{ \left( x_{1},y_{1}\right) =(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{15}}{2}),\left( x_{2},y_{2}\right) =\left( \dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{15}}{2}\right) \} \end{align}
Hvis utrykket under kvadratroten er større enn null , har ligningen enten 1 , 3 , eller 4 løsninger

$17-4k >0\Rightarrow 17 >4k\Rightarrow \dfrac{17}{4} >k\Rightarrow k <\dfrac{17}{4}$

Jeg skjønner. Tusen hjertelig takk!