matematikk.net

Hei jeg trenger hjelp til å forstå denne.

a) Tegn grafen til en funksjon som ikke er kontinuerlig for x = 1, og kontinuerlig men ikke deriverbar for x = 3.

b) Funksjonen f er gitt ved f(x) = x^2 - 2. Bestem f ’(x) ved hjelp av definisjon.

c) Bruk derivasjonsreglene å derivere funksjoner.

d) Velg et praktisk eksempel å tolke derivasjon og største eller minste areal - volum

a)
En funksjon er kontinuerlig i et punkt (x=1) hvis grenseverdien eksisterer og er lik funksjonsverdien i punktet.
I et knekkepunktet ( x=3) er funksjonen kontenuerlig men ikke deriverbar.
En funksjon som oppfyller disse egenskapene er gitt ved, b)

Den deriverte er definerte slik:
$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
Nå kan vi bruke definisjonen over for å regne den deriverte
\begin{align*}
f'(x)&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^{2}-2-x^2+2}{\Delta x}\\
&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{x^2 +2\cdot x\cdot\Delta x+(\Delta x)^{2}-2-x^2+2}{\Delta x}\\
&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(\Delta x)^{2}+2\cdot x\cdot\Delta x}{\Delta x}\\
&=\lim_{\Delta x \to 0}\Delta x+2\cdot x=0+2x=2x\\
\end{align*}

c)

Ifølge derivasjonsreglene er den deriverte
$$f'(x)=2x-0=2x$$

d)
Et praktisk eksempel kan for være Arealet av et rektangel som har bredde x cm og lengde 2x cm så arealet A er en funksjon av x,
\begin{align*}
A(x)=2x\cdot x=2x^2,\,0\le x \le 5\\
\end{align*}
Arealet er minst i bunnpunktet og størst i topppunktet
\begin{align*}
f'(x)&=4x\\
f'(x)&=0 \Rightarrow 4x=0 \Rightarrow x=0\\
\end{align*}
Funksjonen er av andregrad så den har kun et ekstremalpunkt $(x=0)$ og siden koeffisienten til leddet $x^2$ er positivt så ekstremalpunktet er et bunnpunkt. Største verdien til funksjonen er i en av endepunktene. I dette tilfellet er den i endepunktet $x=5$ og arealet er da $A(5)=2\cdot 5^2=50\, cm^2$