matematikk.net

Hei

Jeg har den følgende oppgaven som krever å skissere grafen til den deriverte funksjonen f'
Bare med top og bunnpunktene og tangenten av en tredjegradsfunksjon

Kan noen foreslå en svar fordi jeg er ikke overbevist at det svare jeg fikk er riktig.

Her i linken er det en bedre beskrivelse av oppgaven


https://ibb.co/3sPXDGt

Tusen takk

Tja, hva har du tenkt og hvilket svar har du fått selv? Så kan vi hjelpe på veien om det evt. ikke er helt rett.

Vel siden vi har top og null punktene, tenkte jeg at den deriverte er en parabel med x=-2 og x=4.
Da får vi f'(x)=x^2-2x-8. Som er en graf som "smile" og skjærer akser Y i punktet -8 mens den løsningen jeg har viser at grafen skjærer akser Y i punktet 8. Og i tillegg sier at top punktet er (1,9) pga den tangenten er y=9x-2. Jeg er litt forvirret. Hvis noen kan løse den oppgaven, setter jeg stor pris på det.

Takk.

Hei, du er på rett spor! Den deriverte må ganske riktig være en andregradsfunksjon, med nullpunkter i $x_1 = -2$ og $x_2 = 4$. Og da er det veldig fornuftig å sette opp faktoriseringen slik du gjør, og få

$(x+2)(x-4) = x^2-2x-8$. Men dette er ikke hele historien, siden vi fint kan ha en konstant ganget med dette uttrykket, altså har vi $f'(x) = a(x+2)(x-4)$. Så gjenstår det å bestemme denne konstanten $a$. Da har vi en opplysning til: At tangenten til grafen $f$ i punktet $(1, 7)$ er $9x-2$. Det betyr altså at stigningstallet til tangenten i dette punktet er $9$. Og hva kan vi da si om den deriverte i dette punktet?

Da kan vi si at a=9 pga stigningstallet til tangenten er 9?

Men da får jeg samme resultat fordi:
9(x+2)(x-4)=x^2-2x-8

$a$ blir ikke $9$ - men det vi vet, er at verdien av den deriverte (det er jo nettopp det stigningstallet til tangenten er!), i punktet $(1, 7)$ vil være $9$. Og det betyr at den deriverte når $x=1$, vil være $9$. Det vi vet da er:

$f'(1) = 9$.

Dette kan vi bruke til å bestemme konstanten $a$, siden da $f'(1) = a\cdot (1+2)\cdot (1-4) =a\cdot 3\cdot (-3) = -9a$. Og siden verdien av dette skal være $9$, må dermed $a = -1$.

Det gir da følgende uttrykk for den deriverte:

$f'(x) = -1\cdot (x+2)(x-4) = -x^2 + 2x + 8$.

1•10^3 (takk)