Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.
Jeg har den følgende oppgaven som krever å skissere grafen til den deriverte funksjonen f'
Bare med top og bunnpunktene og tangenten av en tredjegradsfunksjon
Kan noen foreslå en svar fordi jeg er ikke overbevist at det svare jeg fikk er riktig.
Her i linken er det en bedre beskrivelse av oppgaven
Vel siden vi har top og null punktene, tenkte jeg at den deriverte er en parabel med x=-2 og x=4.
Da får vi f'(x)=x^2-2x-8. Som er en graf som "smile" og skjærer akser Y i punktet -8 mens den løsningen jeg har viser at grafen skjærer akser Y i punktet 8. Og i tillegg sier at top punktet er (1,9) pga den tangenten er y=9x-2. Jeg er litt forvirret. Hvis noen kan løse den oppgaven, setter jeg stor pris på det.
Hei, du er på rett spor! Den deriverte må ganske riktig være en andregradsfunksjon, med nullpunkter i $x_1 = -2$ og $x_2 = 4$. Og da er det veldig fornuftig å sette opp faktoriseringen slik du gjør, og få
$(x+2)(x-4) = x^2-2x-8$. Men dette er ikke hele historien, siden vi fint kan ha en konstant ganget med dette uttrykket, altså har vi $f'(x) = a(x+2)(x-4)$. Så gjenstår det å bestemme denne konstanten $a$. Da har vi en opplysning til: At tangenten til grafen $f$ i punktet $(1, 7)$ er $9x-2$. Det betyr altså at stigningstallet til tangenten i dette punktet er $9$. Og hva kan vi da si om den deriverte i dette punktet?
$a$ blir ikke $9$ - men det vi vet, er at verdien av den deriverte (det er jo nettopp det stigningstallet til tangenten er!), i punktet $(1, 7)$ vil være $9$. Og det betyr at den deriverte når $x=1$, vil være $9$. Det vi vet da er:
$f'(1) = 9$.
Dette kan vi bruke til å bestemme konstanten $a$, siden da $f'(1) = a\cdot (1+2)\cdot (1-4) =a\cdot 3\cdot (-3) = -9a$. Og siden verdien av dette skal være $9$, må dermed $a = -1$.
