matematikk.net

Hei, Eg lurte litt på hvordan denne oppgaven skal løses. Eg har mistanke om at man må utnytte tredjegradsfunksjonen [tex]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex] men hvordan løser eg oppgaven i praksis?

Oppgavetekst:

Funksjonen f er en polynomfunksjon av tredje grad.

Nullpunktene til f er −1 og 2. Toppunktet på grafen til f er (0 , 4), og bunnpunktet er (2 , 0).

Bestem funksjonsuttrykket til f.

Nullpunktet $(-1, 0)$ forteller oss at $f(-1) = 0$. Tilsvarende har vi at $f(2) = 0$.

Vi får også oppgitt at $f'(0) = 4$ og $f'(2) = 0$.

Tilsammen gir dette oss fire likninger, for å finne de fire ukjente, $a, b, c, d$ i polynomet.

Derfra er det et likningssett man må løse.

Alternativ løysing:

Infoen om at botnp. ( 2 , 0 ) ligg på x-aksen impliserer at funksjonen har to samanfallande nullpunkt i denne posisjonen.
Da veit vi at funksjonsuttrykket kan skrivast på forma

f( x ) = a [tex]\cdot[/tex]( x + 1 ) ( x - 2 )[tex]^{2}[/tex]
Finn a.

f( 0 ) = 4 [tex]\Leftrightarrow[/tex] a[tex]\cdot[/tex]1 [tex]\cdot[/tex]( -2 )[tex]^{2}[/tex] = 4 [tex]\Leftrightarrow[/tex] a = 1

Svar: Funksjonen f er gitt ved f( x ) = ( x + 1 ) ( x - 2 )[tex]^{2}[/tex]