S1 Geogebra hjelp - Tangent

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
håpløstprosjekt
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 6
Registrert: 18/10-2021 10:57

oppgave d) i vedlagte bilder, så skal jeg finne en linje som går gjennom Origo og bare skjærer ett punkt i K. sånn jeg har gjort oppgaven er å lage et tangeringspunkt på K(x), som jeg må flytte på til den skjærer gjennom Origo (som en glider-ish). Løsningsforslaget er håpløst og lurer på om det er en bedre måte å gjøre oppgaven på enn å bare "gjette" seg fram til når den skjærer Origo.
Vedlegg
Min Geogebra
Min Geogebra
Skjermbilde 2021-10-18 kl. 10.56.22.png (1022.34 kiB) Vist 707 ganger
Oppgave
Oppgave
Skjermbilde 2021-10-18 kl. 10.55.55.png (626.51 kiB) Vist 707 ganger
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

oppgave d) i vedlagte bilder, så skal jeg finne en linje som går gjennom Origo og bare skjærer ett punkt i K. sånn jeg har gjort oppgaven er å lage et tangeringspunkt på K(x), som jeg må flytte på til den skjærer gjennom Origo (som en glider-ish). Løsningsforslaget er håpløst og lurer på om det er en bedre måte å gjøre oppgaven på enn å bare "gjette" seg fram til når den skjærer Origo.
Generelt har vi ei rett linje som går gjennom origo gitt ved $y = ax$ der $a$ er stigningstallet som foreløpig er ukjent.

Vi ønsker at denne rette linja skjærer K(x) i ett punkt (i tillegg til i origo). Med andre ord må vi løse likninga $ax = 0.001x^3 - 0.3x^2 + 30x$.

$x=0$ er her en triviell løsning fordi $ax$ og $K(x)$ møtes i origo, men etter det blir oppgaven å finne $a$ slik at den resterende andregradslikninga kun har én løsning.

Med andre ord regner vi oss frem til det, fremfor gjettinga du naturligvis vil unngå.
Bilde
jos
Galois
Galois
Innlegg: 561
Registrert: 04/06-2019 12:01

Som Alex skriver, man finner frem til den minste prisen som gjør at inntekter og kostnader balanserer, ved å løse likningen
$px = 0.001x^3 - 0.3x^2 + 30x$ ved å finne den p som bare gir én løsning for $x$. Men det var ikke umiddelbart klart, i hvert fall for meg, hvorfor dette gav en slik minstepris. Her er et forslag til en forklaring:

Ved bare én løsning må inntektsfunksjonen $ I =px$ tangere kostnadsfunksjonen K(x). I tangeringspunktet blir enhetskostnaden $ E(x) =\frac{K(x)}{x}$ lik stigningstallet til den $px$, altså $p$, som tangerer $K(x)$ og dermed også lik grensekostnaden $K´(x)$. Enhetskostnaden må ha sitt minimum når den er lik grensekostnaden i et område hvor grensekostnaden øker, men hvor enhetskostnaden i utgangspunktet var større enn grensekostnaden. Men det betyr at tangeringspunktet angir minimumspunktet for enhetskostnaden og dermed også minimumsprisen $p $ siden $p$ = grensekostnad = enhetskostnad.

Som en bonus gir dette en enkel måte å beregne $p$ på ved å finne minimumspunktet for enhetskostnaden:

$E(x) =0.001x^2 -0.3x +30\, , E´(x) = 0.002x -0.3 = 0\, => x = \frac{0.3}{0.002} = 150\, , p = $ 0.001*150^2 - 0.3*150 + 30 = 7.5$
Svar