Likning
Lagt inn: 02/12-2003 20:08
Hvordan finner jeg nullpunktet til dette utrykket ?
-6+x+4x^3
-6+x+4x^3
matematikk.net
Matteprat
https://www.matematikk.net/matteprat/
Likning
https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=534
Side 1 av 1
Lagt inn: 02/12-2003 20:19
Sett utrykket lik null, og finn x.
Lagt inn: 02/12-2003 21:27
Men denne likningen var litt vrien
-6+x+4x^3 = 0
-6+x+4x^3 = 0
Lagt inn: 02/12-2003 21:38
Det finnes generelle formler for å løse tredjegradliginger, men det er ofte lettest å løse de grafisk når uttrykket ikke kan faktoriseres. Se når grafen skjærer x-aksen (y=0). Var oppgaven å løse den algebraisk eller grafisk?
En reel algebraisk løsning er forøvrig:
1/6*(162+3*2919[sup]1/2[/sup])[sup]1/3[/sup]-1/(2*(162+3*2919[sup]1/2[/sup])[sup]1/3[/sup]) ca lik 1.072020217
finnes også to komplekse
En reel algebraisk løsning er forøvrig:
1/6*(162+3*2919[sup]1/2[/sup])[sup]1/3[/sup]-1/(2*(162+3*2919[sup]1/2[/sup])[sup]1/3[/sup]) ca lik 1.072020217
finnes også to komplekse
Lagt inn: 02/12-2003 22:04
Likningen er på redusert form, er
x[sup]3[/sup] +(1/4)x - (3/2) = 0
En tredjegradslikning som kan skrives på formen
x[sup]3[/sup] +3px + 2q = 0
der p og q er konstanter, har
a) tre reelle loesninger når q[sup]2[/sup]+p[sup]3[/sup] < 0
b) tre reelle loesninger der de to minste er like når q[sup]2[/sup]+p[sup]3[/sup] = 0
c) en reell og to konjugert komplekse loesninger når q[sup]2[/sup]+p[sup]3[/sup] >0
Vi kan verifisere at c) er tilfellet her. Du kan sannsynligvis finne formler for å loese likningen i formelsamlingen din. Dersom dette ikke er tilfelle, gi lyd og jeg kan kaskje trylle fran noen.
_
x[sup]3[/sup] +(1/4)x - (3/2) = 0
En tredjegradslikning som kan skrives på formen
x[sup]3[/sup] +3px + 2q = 0
der p og q er konstanter, har
a) tre reelle loesninger når q[sup]2[/sup]+p[sup]3[/sup] < 0
b) tre reelle loesninger der de to minste er like når q[sup]2[/sup]+p[sup]3[/sup] = 0
c) en reell og to konjugert komplekse loesninger når q[sup]2[/sup]+p[sup]3[/sup] >0
Vi kan verifisere at c) er tilfellet her. Du kan sannsynligvis finne formler for å loese likningen i formelsamlingen din. Dersom dette ikke er tilfelle, gi lyd og jeg kan kaskje trylle fran noen.
_
Lagt inn: 02/12-2003 22:09
Skal vel være "der minst to er like" ?PeerGynt skrev:b) tre reelle loesninger der de to minste er like når q^2+p^3 = 0
Lagt inn: 03/12-2003 18:29
Javisst! - min feil
Lagt inn: 30/06-2004 21:50
Hva vil likningen på redusert form si?
At man har "fjernet" andregradsleddet?
At man har "fjernet" andregradsleddet?
Lagt inn: 01/07-2004 11:04
Tredjegradslikning på generell form
ax[sup]3[/sup] + bx[sup]2[/sup] + cx + d = 0
kan transformeres til redusert form ved hjelp av x = y - b/(3a), som gir
y[sup]3[/sup] + 3py + 2q = 0
der 3p = -(1/3)(b/a)[sup]2[/sup] + c/a, og 2q = (2/27)(b/a)[sup]3[/sup] - (1/3)(bc/a[sup]2[/sup]) + d/a
ax[sup]3[/sup] + bx[sup]2[/sup] + cx + d = 0
kan transformeres til redusert form ved hjelp av x = y - b/(3a), som gir
y[sup]3[/sup] + 3py + 2q = 0
der 3p = -(1/3)(b/a)[sup]2[/sup] + c/a, og 2q = (2/27)(b/a)[sup]3[/sup] - (1/3)(bc/a[sup]2[/sup]) + d/a
Lagt inn: 19/07-2004 20:16
Men hvordan fant man substitusjonen x = y - b/(3a) ?
En mulig metode som jeg oppdaget , minner om metoden for å løse andregradslikningen :
A x² + B x + C = 0
Også ønsker man å skrive likningen på formen :
x² + a x + b = 0
Da setter man a = B/A og b = C/A
Dermed har vi :
x² + a x + b = 0
Også må man kvitte seg med det linere leddet i likningen :
Derfor ønsker man å skrive likningen på formen :
(d + x)² + h = 0
Når man regner det ut , blir det slik :
x² + 2dx + d² + h = 0
Dette er et andregradspolynom med samme form som : x² + a x + b = 0
Derfor setter vi :
a = 2d og c = d² + h
Ved å løse de to likningene overfor med hensyn på d oh h ,får vi at :
d = a/2 og h = c - (a/2)²
Ved å sette disse verdiene inn i likningen : (d + x)² + h = 0 , får vi
denne andregradslikningen :
(x + a/2)² + c - (a/2)² = 0
også setter vi :
y = x + a/2 og z = c - (a/2)²
Dermed har vi skrevet andregradslikningen på redusert form :
y² + z = 0
------------------------------------------------------------------------------
Det samme gjelder tredjegradslikningen :
A x³ + B x² + C x + D = 0
Sett : a = B/A og b = C/A og c = D/A
og vi får en likning som er lettere å jobbe med :
x³ + ax² + bx + c = 0
Vi cuberer bionomet : x + d
(x + d)³ = x³ + 3dx² + 3d²x + d³
Ved å sammenligne disse to polynomene ser vi at de har lik form :
x³ + ax² + bx + c = x³ + 3dx² + 3d²x + d³
a = 3d <=> d = a/3
Vi setter d = a/3 inn i : (x + d)³ og får :
(x + a/3)³ = x³ + a x² + (a²/3) x + a³/27
Ved å legge til : (a²/3) x + a³/27 på begge sider i tredjegradslikningen vi skal løse , får vi :
x³ + ax² + bx + c + (a²/3) x + a³/27 = (a²/3) x + a³/27
Nå kan vi skrive tredje gradslikningen litt enklere :
(x + a/3)³ + b x + c = (a²/3) x + a³/27
Legg alt på en side
(x + a/3)³ + (b - (a²/3)) x + c -a³/27 = 0
Men la oss se litt på førstegradsleddet i likningen.
Hvordan klarer man å få : (b - (a²/3))x til å bli (b - (a²/3))(x + a/3) ????
Hvis man klarer det , har man også klart å skrive likningen på redusert form ved å sette : y = x + a/3
------------------------------------------------------------------------------------
Det er et fellestrekk ved metodene for å løse andre og tredjegradslikninger : Binominalutvikling.
Binominal utvikling var i dette tilfellet en del av en metode for å
hjelpe oss til å skrive utrykket på ønsket form.
Hva heter denne metoden??
En mulig metode som jeg oppdaget , minner om metoden for å løse andregradslikningen :
A x² + B x + C = 0
Også ønsker man å skrive likningen på formen :
x² + a x + b = 0
Da setter man a = B/A og b = C/A
Dermed har vi :
x² + a x + b = 0
Også må man kvitte seg med det linere leddet i likningen :
Derfor ønsker man å skrive likningen på formen :
(d + x)² + h = 0
Når man regner det ut , blir det slik :
x² + 2dx + d² + h = 0
Dette er et andregradspolynom med samme form som : x² + a x + b = 0
Derfor setter vi :
a = 2d og c = d² + h
Ved å løse de to likningene overfor med hensyn på d oh h ,får vi at :
d = a/2 og h = c - (a/2)²
Ved å sette disse verdiene inn i likningen : (d + x)² + h = 0 , får vi
denne andregradslikningen :
(x + a/2)² + c - (a/2)² = 0
også setter vi :
y = x + a/2 og z = c - (a/2)²
Dermed har vi skrevet andregradslikningen på redusert form :
y² + z = 0
------------------------------------------------------------------------------
Det samme gjelder tredjegradslikningen :
A x³ + B x² + C x + D = 0
Sett : a = B/A og b = C/A og c = D/A
og vi får en likning som er lettere å jobbe med :
x³ + ax² + bx + c = 0
Vi cuberer bionomet : x + d
(x + d)³ = x³ + 3dx² + 3d²x + d³
Ved å sammenligne disse to polynomene ser vi at de har lik form :
x³ + ax² + bx + c = x³ + 3dx² + 3d²x + d³
a = 3d <=> d = a/3
Vi setter d = a/3 inn i : (x + d)³ og får :
(x + a/3)³ = x³ + a x² + (a²/3) x + a³/27
Ved å legge til : (a²/3) x + a³/27 på begge sider i tredjegradslikningen vi skal løse , får vi :
x³ + ax² + bx + c + (a²/3) x + a³/27 = (a²/3) x + a³/27
Nå kan vi skrive tredje gradslikningen litt enklere :
(x + a/3)³ + b x + c = (a²/3) x + a³/27
Legg alt på en side
(x + a/3)³ + (b - (a²/3)) x + c -a³/27 = 0
Men la oss se litt på førstegradsleddet i likningen.
Hvordan klarer man å få : (b - (a²/3))x til å bli (b - (a²/3))(x + a/3) ????
Hvis man klarer det , har man også klart å skrive likningen på redusert form ved å sette : y = x + a/3
------------------------------------------------------------------------------------
Det er et fellestrekk ved metodene for å løse andre og tredjegradslikninger : Binominalutvikling.
Binominal utvikling var i dette tilfellet en del av en metode for å
hjelpe oss til å skrive utrykket på ønsket form.
Hva heter denne metoden??
Lagt inn: 20/07-2004 18:14
Hvordan klarer man å få : (b - (a²/3))x til å bli (b - (a²/3))(x + a/3) ????
Fant nettopp ut. Man legger til (b - (a²/3))(a/3) på begge sider, slik at :
(x + a/3)³ + (b - (a²/3)) x + c -a³/27 + (b - (a²/3))(a/3) = (b - (a²/3))(a/3)
<===>
(x + a/3)³ + (b - (a²/3))(x + a/3) + c -a³/27 - (b - (a²/3))(a/3) = 0
Ser man nærmere på likningen, ser man at dette er en tredjegradslikning på redusert form.
(x + a/3)³ + (b - (a²/3))(x + a/3) + c -a³/27 - (b - (a²/3))(a/3) = 0
Lagt inn: 25/07-2004 02:02
Dermed er det bevist at y = x - a/3 er en substitusjon, som fører til en forenkling av tredjegradslikninga.
Eksempeler :
x³ + 3x² - 4x - 1 = 0 på redusert form er : y³ - 7y + 5 = 0
-----------------------------------------------------------------------------
11x³ - 4x² + 7x - 9 = 0 på redusert form er :
y³ + (215/363)y - 26759/35937
-----------------------------------------------------------------------------
124x³ - 63x² - 29x - 121 = 0 på redusert form er :
y³ - (4919/15376)y - 977267/953312
-----------------------------------------------------------------------------
Hva nå?
Ved å fjerne andregradsleddet sitter man med en likning med formen:
x³ + ax + b = 0
Formelen : (u + v)³ = u³ + 3vu² + 3v²u + v³ , er fremdeles til hjelp her.
ved å faktorisere 3uv ut av 3vu² + 3v²u blir det :
(u + v)³ = 3uv(v + u) + (v³ + u³)
ved å sette x = u + v , får man en likning med samme form som likningen som skal løses. Det store sirkusnummeret nå, blir å finne u + v som er løsningen på likningen : x³ + ax + b = 0
Eksempeler :
x³ + 3x² - 4x - 1 = 0 på redusert form er : y³ - 7y + 5 = 0
-----------------------------------------------------------------------------
11x³ - 4x² + 7x - 9 = 0 på redusert form er :
y³ + (215/363)y - 26759/35937
-----------------------------------------------------------------------------
124x³ - 63x² - 29x - 121 = 0 på redusert form er :
y³ - (4919/15376)y - 977267/953312
-----------------------------------------------------------------------------
Hva nå?
Ved å fjerne andregradsleddet sitter man med en likning med formen:
x³ + ax + b = 0
Formelen : (u + v)³ = u³ + 3vu² + 3v²u + v³ , er fremdeles til hjelp her.
ved å faktorisere 3uv ut av 3vu² + 3v²u blir det :
(u + v)³ = 3uv(v + u) + (v³ + u³)
ved å sette x = u + v , får man en likning med samme form som likningen som skal løses. Det store sirkusnummeret nå, blir å finne u + v som er løsningen på likningen : x³ + ax + b = 0