matematikk.net

Hei, håper noen kan hjelpe meg med ei oppgave:

Gitt en uendelig rekke: 2/(1*3) + 2/(3*5) + 2/(5*7) +...

Finn et uttrykk for ledd nr. n. Dette klarte jeg og fant at An = 2/((2n-1)(2n+1))

Så skal vi vise at Sn kan skrives 1-1/(2n+1). Jeg får ikke dette til. Dette er ikke en geometrisk rekke (jeg fant iallefall ikke at K kunne brukes). Er det en aritmetisk rekke, og hvordan i så fall ser man at det er det?

Jeg har forsøkt utallige ganger å bruke formelen for sum av aritmetisk rekke (...og geometrisk rekke), men får det bare ikke til. Håper noen kan hjelpe meg.

Hint: Bruk delbrøkoppspalting på hver brøk, og se om du finner et mønster. Du skal etter hvert finne et mønster som tilsier at vi ender opp med kun to brøker.

Er det en aritmetisk rekke, og hvordan i så fall ser man at det er det?

Hvis det er en aritmetisk rekke så vil differansen mellom to påfølgende ledd være det samme hver gang. Stemmer det for denne følgen?

Takk for tips om delbrøkoppspalting. Det er vel den veien man må gå når rekken hverken er geometrisk eller aritmetisk da?

Allikevel så står jeg fast - kommer ikke dit jeg vil. Jeg har forsøkt å bruke delbrøkoppspalting, og ledd nr. n får jeg da at An = 2/((2n-1)(2n+1)) = 1/(2n-1) - 1/(2n+1).

For a1 får jeg mønsteret: 1/(2*1-1) - 1/(2*1+1) som muligens kan skrives slik: a1=1/n - 1/(n+2) ???
a2 blir da: a2=1/3-1/(4+1) som da muligens kan skrives som a2=1/(n+1) - 1/(n+3) ???
Så lang ser jeg at nevneren i de 2 brøkene øker med 1 for hvert ledd, så vil jeg sjekke om dette gjelder for a3 også:

a3=1/(6-1)-1/(6+1) = 1/5 - 1/7 = 1/(3+2) - 1/(3+4) som da muligens kan skrives: a3=1/(n+2) - 1/(n+4).
Det ser ut til at dette stemmer for a3 også. Men hvordan kommer jeg videre herfra til å vise at summen kan skrives som Sn=1 - 1/(2n+1)

Vil sette pris på litt videre veiledning her. Hvor gjør jeg ev. feil eller hva gjør jeg ikke?

Hei igjen!

Du er mye nærmere svaret enn du tror!

Sett inn$\,n = 1, n = 2, n =3, n = 4$ i formelen for $\,a_n$ som oppspaltet i delbrøker, slik du delvis allerede har gjort. Da får du følgende:

$ s_4 = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9}$

Her forsvinner alle leddene bort sett fra det første og det siste.

$s_4$ blir altså$ \,1 - \frac{1}{9}$ som du kan sjekke passer inn med formelen for $s_4$.

Oppgaven blir nå å vise at formelen også gjelder for $s_n$. Da kan du bruke induksjon!

Jepp, da fikk jeg det til. Tusen takk for veiledningen