matematikk.net

Hei.

Sliter litt med bevis. Oppgaven er som følger:

I trekanten OA1A2 er OA1=1, Vinkel O=x og Vinkel A1=60 grader. Ved siden av denne trekanten ligger en ny trekant OA2A3, og i denne andre treknaten er vinkel O=x, Vinkel A2=60 grader. Ved siden av den andre trekanten ligger en tredje trekant OA3A4, og slik stadig nye trekanter. I hver trekant OAnA(n+1) er vinkel O=x og Vinkel An=60 grader.

Vis at trekantsidene A1A2, A2A3, A3A4,... er ledd i en geometrisk tallfølge. Bestem det første leddet i tallfølgen, og vis at kvotienten er K= sin 60/(sin(x+60)).

Jeg klarte ved bruk av sinusproporsjonen på den første trekanten å få at A1A2 = a1 i rekken til å være: A1A2= sinx/(sin120-x). I fasit står det at det er sinx/(sin(x+60)). Ser ved å bruk enhetssirkelen at sin(120-x) = sin(x+60), men skjønner ikke helt hvordan man kommer til det. Noen som kan hjelpe meg med overgangen fra sin(120-x) til sin(x+60)? (Har forsøkt å bruke formelen sin(u-v) osv, men det ledet ikke frem).
I tillegg vet jeg ikke hvordan jeg skal kunne vise at sidene nevnt over er ledd i en geometrisk tallfølge uten å gå veien om k. Dette er første spørsmålet i oppgaven, før man får spørsmål om å vise at K=sin60/(Sin(x+60). Hvordan skal jeg vise at sidene er ledd i en geometrisk tallfølge uten å gå veien om k først? (Jeg klarer å vise at k=sin60/(sin(x+60). eller egentlig at k= sin60/(sin120-x)).

Håper noen kan hjelpe meg med denne

Har jeg forstått beskrivelsen rett?

Hei.

Ja, jeg også har tegnet det opp slik. Det som jeg også var innom var å tenke at siden OA1=1, kunne jeg forsøke å lage det som trekanter i enhetssirkelen, men slo det fra meg. Jeg tegnet opp alle trekantene med å sette x=60 grader for da får vi jo regulære trekanter inni enhetessirkelen. Men slo også denne tanken fra meg.

Jeg har tegnet det opp slik som du har gjort også, så nå er jeg spent

y må vel være 120-x? Ikke sant?

$<A_2 = 180 - x -60 = 120 - x$

$120 - x + x + 60 = 180 $ som betyr at $120 - x \,$og $\, 60 + x\, $er supplementsvinkler. Da

har vi at $ sin(120 - x) = sin(x + 60)$

Sinussetningen forteller oss at $ \frac{1}{sin(120 - x)} = \frac{1}{sin(x + 60)} = \frac{A_1A_2}{sinx} => A_1A_2 = \frac{sinx}{sin(x + 60)}$

På liknende vis har vi

$\frac{OA_2}{sin\,60} = \frac{1}{sin(x + 60)} => OA_2 = \frac{sin\,60}{sin(x + 60)}$

$\frac{OA_2}{sin(x + 60)} = \frac{A_2A_3}{sin\,x} => A_2A_3 = \frac{sin\,x}{sin(x + 60)}\cdot \frac{sin\,60}{sin(x + 60)}$ Kvotienten K blir nå:

$ \frac{A_2A_3}{A_1A_2} = \frac{ \frac{sin\,x}{sin(x + 60)}\cdot \frac{sin\,60}{sin(x + 60)}}{\frac{sinx}{sin(x + 60)}} = \frac{sin\,60}{sin(x + 60)}$

I fasit står det at det er sinx/(sin(x+60)). Ser ved å bruk enhetssirkelen at sin(120-x) = sin(x+60), men skjønner ikke helt hvordan man kommer til det.

$x + 60^0$ og $120^0 - x$ er supplementvinkler, de blir til sammen $180^0$, og da følger det direkte fra enhetssirkelen at $sinus(x + 60^0) = sinus(120^0 -x)$ Som du sier, "du ser det!"

Det kan også vises ut fra den trigonometriske identiteten sin(u + v) = sinucosv + sinvcosu, men dette er ikke noe mer grunnleggende bevis:

$sin (x + 60^0) = sinxcos60^0 + sin60^0cos x = \frac{1}{2}sinx + \frac{\sqrt{3}}{2}cosx$

$sin(120^0 - x) = sin120^0cosx - sinxcos120^0= \frac{1}{2}sinx + \frac{\sqrt{3}}{2}cosx$

Så vidt jeg kan se, er du ikke forpliktet i oppgaveteksten til å vise at vi har å gjøre med en geometrisk rekke uavhengig av kvotienten k. Men ut fra uttrykket for k, som er oppgitt, kan man påvise at k er konstant siden k bare er en funksjon av x som er konstant i sammenhengen, uavhengig av AnAn+1 der n angir det n-te leddet i rekken.

Supert og takk for god forklaring