matematikk.net

Hei! Trenger hjelp med følgende oppgave:

Deriver funksjonen

S(x) = -X/100 * (x - 36)ˆ3

Jeg ser at dette er et produkt og jeg skjønner hvordan man deriverer et produkt. Men akkurat denne oppgaven syns jeg var litt vanskelig. Fasiten sier: (x - 36)^2/25 * (9 - x).

Jeg har prøvd å løse oppgaven flere ganger men har ingen anelse om hvordan jeg skal komme frem til dette svaret. Setter pris på om noen orker å forklare!

Hei, det lønner seg å gjøre dette steg for steg. Vi skal altså derivere

$S(x) = -\frac{x}{100} \cdot (x - 36)^3$

Produktregelen for derivasjon sier at $(u\cdot v)' = u'v + uv'$. For vårt tilfelle har vi da
$u = -\frac{x}{100}$ og $v = (x-36)^3$. Det gir, for de deriverte:

$u' = -\frac{1}{100}$ og $v' = 3(x-36)^2$

Setter vi dette sammen får vi

$S'(x) = u'v + uv' = -\frac{1}{100}\cdot (x - 36)^3 -\frac{x}{100}\cdot 3(x-36)^2$

For å forenkle svaret kan vi se at både $-\frac{1}{100}$ og $(x-36)^2$ er felles faktorer i begge ledd. Disse kan vi da trekke utenfor en parentes, som gir

$S'(x) = -\frac{1}{100}\cdot (x-36)^2\cdot\bigl( (x-36) + 3x\bigr)$

Videre kan vi forenkle parentesen litt, og får

$S'(x) = -\frac{1}{100}\cdot (x-36)^2\cdot\bigl(4x-36\bigr)$

Fra den siste parentesen kan vi trekke en faktor $4$ utenfor, siden både $4x$ og $36$ er delelige med $4$. Det gir

$S'(x) = -\frac{1}{100}\cdot (x-36)^2\cdot 4\bigl(x-9\bigr)$

Omorganiserer vi litt får vi

$S'(x) = -\frac{4}{100}\cdot (x-36)^2\cdot \bigl(x-9\bigr)$

Forkorter vi brøken, får vi

$S'(x) = -\frac{1}{25}\cdot (x-36)^2\cdot \bigl(x-9\bigr)$

Da er vi nesten i mål. Det som gjenstår for å få "fasitsvaret" er å trekke minustegnet inn i parentesen, slik at den blir $(9-x)$. Da ender vi med

$S'(x) = \frac{(x-36)^2}{25}\cdot \bigl(9-x\bigr)$