Følgjer og rekkjer

[dahle-g]

Hei! OPPGÅVE 6.83 SIGMA R2 2015
Har ei oppgåve som eg ikkje forstår korleis den kan løysast.
Korleis kan ein addere desse to rekkjene og finne rekkjeutviklinga for sinh x og cosh x.
Er det nokon som kan hjelpe meg her?
Sjå oppgåve teksten nedanfor

Oppgåve 6.83
Vi definerer dei såkalla hyperbolske funksjonane slik:

sinh x = (e^x- e^(- x))/2 (hyperbolske sinus)

cosh x = (e^x + e^(- x))/2 (hyperbolske cosinus)

Ei kjend rekkje er

e^x = 1 + x + 1/2ǃ x^2 + 1/3ǃ x^3 + 1/4ǃ x^4 + . . .

Byter vi ut x med – x i denne Taylor rekkja, får vi

e^(- x) = 1 – x + 1/2ǃ x^2 – 1/3ǃ x^3 + 1/4ǃ x^4 – . . .

Desse to rekkjene kan adderast ledd for ledd. Då får vi ei rekkjeutvikling for hyperbolsk sinus og hyperbolsk cosinus. Finn rekkjeutviklinga for sinh x og cosh x.
!
Har ei oppgåve 6.83 Sigma R2 2015
Forstår ikkje korleis ein kan addere desse rekkjene
Oppgåve tekst

[Janhaa]

se på rekkeutviklinga til cosh(x)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... osh%28x%29

og deretter på tilsvarende til [tex]\,\,e^x+e^{-x}[/tex]

https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... 5E%28-x%29

da sees at:

[tex]2\cosh(x)=e^x+e^{-x}[/tex]

kan gjøre tilsvarende for sinh(x)

[Mattebruker]

Kontroll sinh-rekka: Grafen til sinh-funksjonen er symm. om origo (odde funksjon ). Det tilseier at sinh-rekka har ledd av berre odde orden ( x , x[tex]^{3}[/tex] , x[tex]^{5}[/tex], o.s.v..... )

Kontroll cosh-rekka: Grafen er symm. om y-aksen ( jamn funksjon ) og kryssar denne i punktet ( 0 , 1 ). Den tilh. Taylor-rekka får dermed ledd av berre partalsorden( 1 , x[tex]^{2}[/tex], x[tex]^{4}[/tex], x[tex]^{6}[/tex], o.s.v..... )

[dahle-g]

Hei!
Ser av funksjonen til sinh x og cosh x at dei er oddetalsorden og partalsorden.
Men korleis kjem eg fram det det som står i fasiten.

sinh x = x + 1/3ǃ x^3 + 1/5ǃ x^5 + 1/7ǃ x^7 + . . .

cosh x = 1 + x + 1/2ǃ x^2 + 1/4ǃ x^4 + 1/6ǃ x^6 + . . .

[Mattebruker]

sinh = ( pr. def. ) [tex]\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}[/tex]

Taylor-rekka for sinh ?

Ta utgangspunkt i Taylorrekka for e[tex]^{x}[/tex] og e[tex]^{-x}[/tex] ( jamfør hintet du presenterte i første innlegget ditt )
Så subtraherer vi e[tex]^{-x}[/tex]- rekka frå e[tex]^{x}[/tex]-rekka , og til slutt deler vi differansen på 2 ( jamfør definisjonen på sinh - sjå ovanfor ).
Da ser vi at ledd med partallig orden, samt konstantledda , nullar seg ut parvis , og vi endar opp med ei rekke der alle x-potensar er av odde orden.

Når det gjeld cosh-rekka, brukar vi same framgangsmåten, men no er det ledd av odde orden som fell vekk. Slik endar vi opp med ei rekke der alle x-potensar har partallig orden.

[dahle-g]

Tusen takk for super hjelp
Då gikk det opp eit lys for meg. og alt fall på plass.
Då sette eg berre tala frå dei to rekkjene inn i for sinh x og cosh x
og då fikk eg rekkjene som var gitt i fasiten