matematikk.net

Hei, har en trigonometrisk likning jeg sliter med å løse, setter veldig pris på tips til hvordan man skal løse den. Likningen skal løses for x ∈ [0, 2pi]. Vet at sin^2(x) + cos^2(x)=1, og tan = sin/cos. Har prøvd å sette inn disse verdiene i likningen, men kommer ikke fram til noe som kan brukes videre. takk.

Her har du et klassisk tilfelle av "venstre siden er lik høyresiden i utgangspunktet, men vi har kludret den til så det ikke ser sånn ut". Så det er sant for alle $x$ i intervallet.

Fordi

$$\sin^2(x)=\frac{\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}=\frac{\tan^2(x)}{\sec^2(x)}=\sin^2(x)$$

Her har vi utnyttet at $$1+\tan^2(x)=\sec^2(x)$$ og $$\frac{\tan^2(x)}{\sec^2(x)}=\sin^2(x)$$

Dersom du ikke er fortrolig med sekanten kan vi skrive det ut litt mer nøye bare vha. sin og cos, slik:

[tex]\frac{\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}=\frac{\tan^2(x)}{1+\frac{ \sin^2(x)}{\cos^2(x)}}=\frac{\tan^2(x)}{\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}}=\frac{\tan^2(x)}{\frac{1}{\cos^2(x)}}=\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\cdot \cos^2(x)=\sin^2(x)[/tex]

Takk for svar. Visste ikke at det var så lett. Problemet mitt er at jeg ikke helt forstår hvordan man går fra 1+ (sin^2(x) / cos^2(x)) til (cos^2(x)+sin^2(x)) / cos^2(x) fra andre steg til tredje steg, i nevneren på den nederste likningen din

hassam skrev:Takk for svar. Visste ikke at det var så lett. Problemet mitt er at jeg ikke helt forstår hvordan man går fra 1+ (sin^2(x) / cos^2(x)) til (cos^2(x)+sin^2(x)) / cos^2(x) fra andre steg til tredje steg, i nevneren på den nederste likningen din

Vi har
$$1+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$$

Her er $\cos^2(x)$ felles nevner, så vi må gange og dele 1 med $\cos^2(x)$ for å kunne sette hele greia på felles brøkstrek, dvs.

$$1+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos^2(x)}$$

Ja, fikk det til etter litt logisk tenking. Takk for hjelpen