rekkje og konvergens

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

rekkje og konvergens

Innlegg dahle-g » 13/04-2021 07:19

Hei!
Oppgåve 6.93 Sigma R2 2015
Trur eg har fått til det meste av denne oppgåve.
Det del spørsmål e) eg ikkje veit korleis eg skal løyse.
Kan nokon hjelpe meg her?

Sjå nedanfor oppgåva og mi løysing

Oppgåve 6.93

Ein funksjon f er gitt ved

f (x) = 3/(x√x), D_f = ⟨0,┤ ├ →⟩

På figur 1 har vi skissert grafen til funksjonen f.

På figur 2 har vi teikna og skravert fire rektangel, kvart rektangel med breidda 1. vi set

f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = s_4

a) Forklar at s_4 er lik det skraverte arealet.

Summen av rektangla under grafen kallar vi ein trappesum. Vi deler intervallet [a, b] i n like store delar. Breidda av kvart rektangel blir då (b - a)/n . Denne breidda kallar vi ∆x . Høgda til kvart rektangel er f (x), og arealet av kvart rektangel blir derfor f (x) · ∆x.
Trappesummen kan no skrivast slik:

∑_a^b▒〖f (x) · ∆x〗

Her har vi brukt den greske bokstaven sigma, Σ, for å vise at vi summerer.

Fire rektangel:

n = 4 gir ∆x = (4 - 0)/4 = 1,0

Vi bruker x = 1, x = 2, x = 3 og x = 4.

f (x) = 3/(x√x)

Høgdene er då

f (1) = 3/(1√1) = 3, f (2) = 3/(2√2) = 1,061, f (3) = 3/(3√3)= 0,577 og f (4) = 3/(4√4)= 0,375

Trappesummen blir

1 · 3 + 1 · 1,061 + 1 · 0,577 + 0,375 = 3 + 1,061 + 0,577 + 0,375 = 5,013

b) Forklar at s_4 < 3 + ∫_1^4▒〖f (x)〗 dx

Vi ser på fig. 2 at det er tre trekantareal mellom rektangla og grafen. Desse areala kjem ikkje med i utrekninga av arealet under grafen når vi reknar s_4 med trappesum.

3 + ∫_1^4▒〖f (3/(x√x))〗 dx = 3 + 3∫_1^4▒〖f (3/(x√x))〗 dx = 3 + ∫_1^4▒f(3/(x^1 · x^(1/2) )) dx = 3 + ∫_1^4▒〖f (3 ·x^(- 1) · x^(- 1/2) ) 〗 dx
= 3 + ∫_1^4▒〖f (3x^(- 3/2) ) 〗 dx = 3 + 3[1/(- 3/2+1) x^(- 3/2 +1) ] ■(4@1) = 3 + 3[1/(- 1/2) x^(- 1/2 ) ] ■(4@1)
= 3 + 3[- 2x^(- 1/2 ) ] ■(4@1) = 3 + 3 (- 2〖 · 4〗^(- 1/2 ) ) – 3 (- 2 ·〖 1〗^(- 1/2 ) )
= 3 + 3 (- 2〖 ·1/√4〗^ ) – 3 (- 2·1/√1) = 3 + 3 (- 2〖 ·1/2〗^ ) – 3 (- 2·1/1)
= 3 + 3 (- 1) – 3 (- 2) = 3 – 3 + 6 = 6
Når reknar vi ut det bestemte integralet til 3 + ∫_1^4▒〖f (x)〗 blir det 6, medan s_4 trappesummen blir tilnærma 5,013. Trekantareala er då tilsaman 6,0 – 5,013 ≈ 0,987

Vi har då at s_4 < 3 + ∫_1^4▒〖f (x)〗 dx.

Dersom vi held fram med å lage rektangel med breidda 1, kan vi stille opp summar, s_n, der

s_n = f (1) + f (2) + . . . + f (n)

c) Forklar at s_n < 3 + ∫_1^n▒〖f (x)〗 dx, for alle n ∈ {2,3,4,. . .}.

Vi let n → ∞. Vi deler altså intervallet i uendeleg mange delar. Sidan ∆x = (b - a)/n, får vi at
∆x → 0 når n → ∞ Trekantareala u nder grafen blir mindre og mindre og etterkvart tilnærma lik null. Trappesummen vil derfor nærme seg 6. Men trappesummen s_n vil alltid vere litt mindre enn 6, som er.arealet under grafen.

Vi har då at s_n < 3 + ∫_1^n▒〖f (x)〗 dx, for alle n ∈ {2,3,4,. . .}.

d) Vis at ∫_1^n▒3/(x√x) dx = 6(1- 1/√n)

∫_1^n▒3/(x√x) dx = 3 · [- 2x^(- 1/2 ) ] ■(n@1) = 3 · (- 2〖 · n〗^(- 1/2 ) ) – 3 · (- 2 ·〖 1〗^(- 1/2 ) )
= 3 · (- 2〖 ·1/√n〗^ ) – 3 · (- 2·1/√1) = 3 · (- 2〖 ·1/√n〗^ ) – 3 · (- 2·1/1)
= 3 · (- 2〖 ·1/√n〗^ ) – 3 · (- 2) = – 6 · 1/√n + 6 = 6 – 6 · 1/√n
= 6 · (1- 1/√n)

Når n blir veldig stor, vil leddet 1/√n bli mindre og mindre og nærme seg null, og summen vil derfor nærme seg 6. Men summen vil alltid vere litt mindre enn 6.

Bruk dette til å forklare at s_n < 9 for alle n ∈ ℕ.

s_n < 3 + ■(lim@n→∞) ∑_1^n▒6(1- 1/√n) < 3 + 6 (1- 0) < 9

Ei setning om konvergente rekkjer lyder slik:
«Dersom ei rekkje s_n er veksande og mindre enn eit fast tal k, er rekkja konvergent.»

NB! Det er denne eg ikkje får til å løyse
e) Bruk denne setninga og resultatet framanfor til å forklare at rekkja

3 + 3/(2√2) + 3/(3√3) + 3/(4√4) + . . ., er konvergent.
dahle-g offline
Noether
Noether
Innlegg: 37
Registrert: 02/05-2017 00:17

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google Adsense [Bot] og 79 gjester